Questão sobre ângulos de duas retas

Seja E(-2;3) o centro de um quadrado ABCD. Sabendo que a reta AB tem equação
x-2y+3=0, determine as equações das retas que contêm as diagonais do quadrado.


R: 3x-y+9=0 e x+3y-7=0

Vou fazer parte e você completa

1) Desenhe sistema xOy e poste, em escala, ponto E(-2;3) e reta AB: x - 2y + 3 = 0

2) Por E trace uma reta perpendicular à reta AB, no ponto M. Este ponto M é o ponto médio do lado AB, logo, a distância EM é igual à metade do lado do quadrado

y = (1/2).x + 3/2 ---> tgα = 1/2 (α = ângulo da reta com o eixo x)

EM = |1.(-2) - 2.(3) + 3|/√[1² + (-2)²] ---> EM = √5 ---> AM = √5 ---> AB = 2.√5

BC = CD = DA = 2.√5 --> d² = AB² + BC² --> d² = 40 --> d = 2.√10 ---> diagonal

No triângulo retângulo EMA ---> tg(EÂM) = tg45º ---> tgθ = 1

Reta AC ---> m = tg(θ + α) = tg(45º + α) = (tg45º + tgα)/(1 - tg45º.tgα) --->

m = (1 + 1/2)/[1 - 1.(1/2)] ---> m = 3

Equação de AC ---> y - yE = m.[x - xE] ---> y - 3 = 3.[x - (-2)] ---> 3x - y + 9 = 0

Para calcular a equação de BD ---> passa por E(-2;3) e é perpendicular a AC

Seja l o lado do quadrado ABCD. Perceba que a distância do ponto E ao lado do quadrado é l/2.


Assim, temos que :




Como esta distância corresponde à metade, seu dobro é  
 

Da equação da reta que contém o lado AB podemos deduzir que o quadrado está rotacionado, uma vez que seus lados não formam noventa graus com os eixos. Assim, vamos rotacionar este quadrado para conseguir esta propriedade: ser normal aos eixos.

Perceba que o vetor diretor da reta dada é (2,1), assim, como na figura:

 


Então, considere a matriz de rotação:

, onde x' e y' representam as novas coordenadas após a rotação. 

Então, e  . Substituindo x e y na reta dada, temos:

 . Esta é a nova equação da reta após rotação. Novamente, o fato de não conter nenhum valor para x é uma comprovação de que a reta forma noventa graus com o eixo y e é paralela ao eixo x.

Podemos também transladar o quadrado para a origem, já que temos o centro dele. Isto é, colocar o centro como a origem O = (0,0).

Assim, substituindo  na reta que obtemos, segue:

, que é a equação da reta dada rotacionada e transladada.

Como já encontramos que l/2 é  , o ponto B do quadrado tem coordenadas: .

Refletindo este ponto entorno da reta x=0, temos que o ponto A tem coordenadas: 


Como o centro é (0,0), porque transladamos, agora temos dois pontos das retas AO e BO.


Então podemos determiná-las:


O vetor diretor de BO é .


Logo,  a reta BO tem equação : 


Da mesma forma, temos que o vetor diretor de de AO é .



Logo, AO tem equação: 



Agora, tão-somente resta realizar todo o processo inverso e encontrar as retas AO e BO nas coordenadas originais.


Primeiramente, vamos transladar entorno do ponto E(-2,3), ao substituir  e .

Assim, as retas ficam:

AO:       e          BO: .



Agora, vamos rotacionar tais retas pelo mesmo ângulo que rotacionamos anteriormente, só que em sentido contrário, a fim de voltar o quadrado à disposição original.


A matriz de rotação inversa é dada como a seguir, para o mesmo ângulo:

, de onde obtemos que  e 


Substituindo em cada uma das retas dadas, obtemos que: