Expresse (Soma Sigma)

por **Pietro di Bernadone** Ter 08 Fev 2011, 18:28

Expresse $\sum_{k=1}^{n}(k^2-4k+3)$ em termos de n.

Resposta: ${\color{red} \frac{1}{3}\,n^{3}-\frac{3}{2}\,n^{2}+\frac{7}{6}\,n}$

Favor quem for responder, detalhe bastante!

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **Euclides** Ter 08 Fev 2011, 19:07

Olá Pietro,

como se trata de uma soma podemos separar as parcelas para trabalhar com cada uma isoladamente

$\dpi{120} \\S=\sum_{k=1}^{n}\left ( k^2-4k+3 \right )\hspace{40}S=S_1+S_2+S_3\\\\S_1=\sum_{k=1}^{n}k^2\hspace{40}S_2=-4\sum_{k=1}^{n}k\hspace{40}S_3=3n$

vamos agora desenvolver cada uma

$\dpi{120} \sum_{k=1}^{n}k^2=1+2^2+3^2+...+n^2$

essa é a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais. Essa soma vale

$\dpi{120} S_1=\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

a demonstração disso é complicadíssima e se você quiser vê-la CLIQUE AQUI.

$\dpi{120} S_2=-4\sum_{k=1}^{n}k=-4(1+2+3+...+n)$

entre os parênteses temos a soma de uma PA de primeiro termo igual a 1, último termo igual a n e razão igual a 1

$\dpi{120} S_2=-4\sum_{k=1}^{n}k=-4\left ( \frac{(1+n)n}{2} \right )$

então

$\dpi{120} S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{(1+n)4n}{2}+3n$

vou deixar para você operar o cálculo final.

por **Pietro di Bernadone** Sáb 12 Fev 2011, 18:14

Euclides, gostaria de saber se poderia escrever o S2 da seguinte forma:

$S_{2}=\sum_{k=1}^{n}-4k$

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **Euclides** Sáb 12 Fev 2011, 18:21

Poderia. Chega-se à mesma coisa.

por **Pietro di Bernadone** Dom 13 Fev 2011, 16:03

Boa tarde prezado Euclides!

Estive tentando resolver o exercício, mas não encontrei a resposta correta. Como faço para anexer minha resolução aqui no Fórum para que seja estudada?

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por Viniciuscoelho Dom 13 Fev 2011, 16:27

Olá, Pietro

Se for imagem:
https://pir2.forumeiros.com/f24-como-inserir-imagens-no-forum

Se for em latex:
https://pir2.forumeiros.com/f16-latex

Abraços

por **Pietro di Bernadone** Dom 13 Fev 2011, 16:53

É um arquivo em pdf.

Atenciosamente,

Pietro

por Viniciuscoelho Dom 13 Fev 2011, 17:19

Podemos fazer pelo Scribd.
1º Fazer cadastro Scribd, http://www.scribd.com
2º Fazer upload (=enviar para o Scribd) do arquivo.
3º Para postar no fórum procure na página do arquivo que voce mandou por "Embed" ou "Share";
clique. Aparecerá uma janela, na parte "Embed this Document", aperte "Copy" do lado direito da tela.
4º Venha aqui no fórum e coloque "colar"(comando = ctrl+v).

Qualquer dúvida é só falar.

por **Pietro di Bernadone** Dom 13 Fev 2011, 19:14

Boa tarde prezado Vinícius!

Descobri onde estava enrrando.

Na verdade, o correto seria escrever $\sum_{k=1}^{n}3=3n$ . Esse era o erro!

Amigo, de qualquer forma muito obrigado pela ajuda!

Atenciosamente,

Pietro di Bernadone