(ITA) Polinômio admitindo somente raízes inteiras

Considere o polinômio p(x) = x³ - (a+1)x + a, onde a ϵ Z. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é:

a) {2n, n ϵ N}
b) {4n², n ϵ N}
c) {6n² - 4n, n ϵ N}
d) {n(n+1); n ϵ N}
e) N

Aparentemente, essa questão é solúvel por Girard, vejamos:




Contudo ficou muito difícil isolar uma incógnita x, daí a sugestão para resolução da questão por tentativa, atribua valores para “n”, sugestão os menores valores (n=1 e n=2) nas letras do gabarito, se somente uma delas produzir raízes de valores inteiros para um determinado valor de “n”, então essa é a nossa resposta.

Para aprender a resolver equações cúbicas consulte:
http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/05/13/resolucao-da-equacao-do-3-%C2%BA-grau-ou-cubica/

Para conferir resultados:
https://pir2.forumeiros.com/Eq-do-Terceiro-Grau-h18.htm

Não acho que essa seja a solução mais simples, por isso espero uma resposta mais simples do demais membros do fórum.

Foi exatamente onde eu empaquei, Vinicius
Não é a primeira questão que eu tenho problemas ao isolar a incógnita :/
De qualquer forma, agradeço por tentar sanar minha dúvida

P(x)=x³-x(a+1)+a
note que
P(1)=0
logo, zero é raíz
entao temos
por briott ruffini
p(x)=(x-1)(x²+x-a)
note que para o polinomio p(x) admitir somente raízes inteiras, o Δ da equação de segundo grau deve ser um quadrado perfeito
entao
1+4a=k²
k,a E Z
k=sqrt(1+4a)
note que 1+4a sempre será um numero ímpar, ou seja, k deverá ser raíz de um número ímpar
entao para sqrt(1+4a)=1 -> a=0
sqrt(1+4a)=3 -> a=2
sqrt(1+4a)=5 -> a=6
sqrt(1+4a)=7 ->a=12
sqrt(1+4a)=9 -> a=20
sqrt(1+4a)=11 -> a=30
...

note que temos:
{0;2;6;12;20;30,...;
0=0(0+1)
2=1(1+1)
6=2(2+1)
12=3(3+1)
20=4(4+1)
30=5(5+1)
...
que dará letra d a lei de formação.

espero que seja isso

eita, li errado a alternativa =x

é isso mesmo que eu fiz tambem rs, vou até editar o final