O tempo total da viagem

por GILSON TELES ROCHA Qui 27 Jan 2011, 09:28

Um trem devia levar 8 horas para fazer um certo percurso, com velocidade constante. Ao atingir a metade do caminho, verificou que levou 1/12 do tempo a mais que devia ter levado. Na segunda metade do percurso tirou 1/8 do atraso.Qual o tempo total da viagem

Resposta: 8h 17min 30s

por **JoaoGabriel** Qui 27 Jan 2011, 11:07

Só uma observação: não sei se a questão foi postada no sessão errada ou eu que fiz de forma errônea, pois ela está em matemática e eu resolvi pela física.

Seja 2d a distância total e d cada metade.
Perceba que já que ele possui velocidade constante e deveria realizar o percurso em 8 horas, ele deveria percorrer cada parte em 4 hrs.

Na ida:

$\\T = \frac {d}{v}\\\\ 4 + \frac {1}{3}=\frac {d}{v}\\\\\frac {13}{3}=\frac {d}{v}\\\\v = \frac {3d}{13}$

Agora na volta:

$\\T = \frac {d}{v}\\\\ 4 +(\frac {1}{12}-\frac {1}{8}) =\frac {d}{v}\\\\ 4 -\frac {1}{24}=\frac {d}{v}\\\\ \frac {95}{24}=\frac {d}{v}\\v = \frac {24d}{95}$

Agora no total:

$\\T_{total}=\frac {2d}{v+v}\\\\T_{total}= \frac {2d}{3d/13 + 24d/95}\\\\T_{total}=\frac {2d}{298d/1235}\\\\T_{total} \sim 8h+0,3h\\\\T_{total} \sim 8h 18 min$

Acho que é isso, caso haja qualquer erro peço que faça o alerta. O resultado não está 100% o do gabarito pois usei de aproximações, mas eu acho que a resolução é essa mesmo.

Abraços.

por **Elcioschin** Qui 27 Jan 2011, 12:43

Não há necessidade da Física. Existe um modo mais fácil

1ª metade ----> t = 4 h + (1/12)* 4 h ----> t = 4 h + (1/2)*240 min ----> t = 4 h + 20 min

Teve um atraso de 20 min na 1ª metade

Na 2ª metade recupeou (1/8 )*20 min = 2,5 min = 2 min 30 s, isto é levou 4 h - 2 min - 30 s

Tempo total = (4 h + 20 min) + (4 h - 2 min - 30 s) = 8 h 17 min 30 s

por **JoaoGabriel** Qui 27 Jan 2011, 12:50

Élcio,
no caso minha resolução estaria errada ou também seria válida?

Um abraço

por **Elcioschin** Qui 27 Jan 2011, 12:54

JG

Existe um erro sim, na sua solução: as duas velocidades são diferentes, pois na 1ª metade ele foi mais devagar (e atrasou) e na 2ª metade ele foi mais rápido (e recuperou parte do atraso).

Além disso, existem 3 velocidades:

1) A velocidade esperada, para a qual ele levaria 8 horas, no total (ou 4 + 4 horas)
2) A velocidade da primeira metade (V1) ----> V1 < V
3) A velocidade na 2ª metade (V2) ----> V2 > V

por **JoaoGabriel** Qui 27 Jan 2011, 13:05

Élcio, não entendi porque estava errado:
Na hora que fiz o tempo total e somei v+v não quis dizer que as velocidades eram iguais: apenas quis expressar a soma das velocidades. Seria melhor somar v1 + v2.
Era esse o erro?

por **Elcioschin** Qui 27 Jan 2011, 13:19

JG

Lembre-se que nem sempre a velocidade média é a média das velocidades.

Ex.: Na ida de uma viagem a velocidade é 60 km/h e na volta é 40 km/h. Qual foi a velocidade média na viagem toda?

Existe a "tentação" óbvia de responder 50 km/h, porém não é esta a velocidade média correta:

Ida ----> d = 60*t1 ----> t1 = d/60 horas

Volta ----> d = 40*t2 ----> t2 = d/40 horas

Distância total percorrida = 2d ----> Tempo total = t1 + t2 = d/60 + d/40

Vm = 2d/(d/60 + d/40) ----> Vm = 2d/(100d/2400) ----> Vn = 2*2400/100 ----> Vm = 48 km/h