Progressao geometrica

por renanfelipe Qua 04 maio 2016, 22:46

determine o valor de x na questao 2^(1/x+1/2x+1/4x+......)=64

por **Elcioschin** Qua 04 maio 2016, 22:56

2^{(1/x + 1/2x + 1/4x +......)} = 2⁶

2^{(1/x).(1 + 1/2 +1/4 +......)} = 2⁶

Entre parênteses temos uma PG infinita decrescente com a1 = 1 e q =1/2

S = 1/(1 - 1/2) ---> S = 2

2^(1/x).2 = 2⁶

2^2/x = 2⁶

2/x = 6

x = 1/3

por renanfelipe Qua 04 maio 2016, 22:58

Nossa Elcio, estou bastante distraído com as propriedades, dechei 2^2/x=4^3. Muito obrigado, tomarei mais cuidado.

por **Christian M. Martins** Qua 04 maio 2016, 23:03

O pessoal tem que começar a melhorar essa formatação das expressões/equações; ninguém merece ter que estar decifrando as coisas.

Segue minha solução:

$\\2^{\frac{1}{x} + ...} = 2^{6}\\ \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{4x} + ... = 2^{6}\\ \\ \\ S_{n} = a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^{2} + ...\\ qS_{n} = a_{1}q + a_{1}q^{2} + ...\\ a_{1} = S_{n} - qS_{n} = a_{1} = S_{n}(1 - q)\\ \\ \frac{1}{x} = 6(1 - \frac{1}{2}) = 6.\frac{1}{2} = 3\\ \\ \boxed{x = \frac{1}{3}}$