Números complexos com inequação.

Dentre todos os números complexos, Z =|Z|(cosθ + isenθ) , 0 ≤ θ < 2π, que satisfazem a inequação | z - 25i | ≤ 15, determinar aquele que tem o menor argumento θ.

Resposta : z = 12 + 16i

obrigado.

Ramon

Este deu trabalho!!!

|Z - 25i| =< 15

| |Z|*cosT + |Z|*senT*i - 25i | =< 15

| |z|*cosT + i*(|Z|*senT - 25) |² =< 225

( |Z|*cosT)² + ( |Z|*senT - 25)² =< 225

|Z|²*cos²T + |Z|²*sen²T - 50*|Z|*senT + 625 =< 225

|Z|²*(cos²T + sen²T) - 50*senT*|Z| + 400 =< 0

|Z|² - 50*senT*|Z| + 400 = 0 ----> Equação do 2º grau na variável |Z|

Discriminante: D = b² - 4ac ---> D = (-50*senT)² - 4*1*400 ---->

D = 2500*sen²T - 1600 ----> D = 100*(25*sen²T - 16) ----> D = 10*V(25*sen²T - 16)

25*sen²T - 16 = 0 ----> sen²T = 16/25 ----> senT = 4/5 ----> cosT = 3/5

Raiz dupla:

|Z| = 25*senT ----> |Z| = 25*(4/5) ----> |Z| = 20

Z = |Z|*cosT + i*|Z|*senT ----> Z = 20*(3/5) + i*20*(4/5) ----> Z = 12 + 16i

Elcioshin, imagino que você não deva lembrar desse exercício, mas, se possível, você poderia me explicar por que você igualou o discriminante a zero? Não poderia haver duas raízes?
Obrigado!

Guilherme

Realmente, eu nem me lembrava mais desta questão

O motivo de ∆ = 0 é o que o enunciado pede: " ...  determinar aquele que tem o menor argumento θ."


Para as demais raízes o argumento seria maior do que θ = arcsen(4/5) ~= 53º

Olá Elcioschin,

estava tentando entender o raciocínio, mas realmente não consegui, ficaria agradecido se pudesse me esclarecer algumas dúvidas.

Consegui chegar numa função em que o a tangente varia pelo valor de b (supondo Z=a+bi) e então usa-se derivada para achar o mínimo (a menor tangente positiva é a com o menor argumento). Porém, não sei se essa questão era esperado em que a resolução fosse por esse método.

Por que a desigualdade:

|Z|² - 50*senT*|Z| + 400<=0 

foi igualada à zero?

|Z|² - 50*senT*|Z| + 400=0 

"Para as demais raízes o argumento seria maior do que θ = arcsen(4/5) ~= 53º"

Por que isso acontece?
Realmente não consegui chegar nessa conclusão.

Muito obrigado.

|Z|² - 50*senT*|Z| + 400 <= 0 

O 1º membro é uma função do 2º grau (parábola com a concavidade voltada para cima)

Eu usei apenas o sinal = para transformar numa equação do 2º grau e achar as raízes

Certamente o assunto seria melhor explicando usando derivadas, mas nem todos os usuários conhecem. Por isto optei por apresentar uma solução adequada para conhecimentos do Ensino Médio.

Muito obrigado Elcioschin, ajudou bastante.

[quote defaultattr=""]

1)D = 100*(25*sen²T - 16) ----> D = 10*V(25*sen²T - 16)  

2) |Z| = 25*senT 
[/quote]
Mestre, poderia me explicar essas duas passagens, por favor?

D é o discriminante da equação do 2º grau: D = b² - 4.a.c

Mas, na solução da equação aparece √D ---> extraindo a raiz nos dois membros:

√D = 10.√(25*sen²T - 16) ---> Faltou o sinal de √ na minha solução

Mas nem precisava disto --> D = 100.(25*sen²T - 16) --> Fazendo D = 0 --> 25*sen²T - 16 = 0

Elcioschin escreveu:D é o discriminante da equação do 2º grau: D = b² - 4.a.c

Mas, na solução da equação aparece √D ---> extraindo a raiz nos dois membros:

√D = 10.√(25*sen²T - 16) ---> Faltou o sinal de √ na minha solução

Mas nem precisava disto --> D = 100.(25*sen²T - 16) --> Fazendo D = 0 --> 25*sen²T - 16 = 0

Gratidão, mestre.