Sobre sais...

Vi na internet que um sal tem caráter ácido ou básico se ocorrer uma reação de neutralização parcial, formando um sal com íons H ou HO na fórmula. Mas meu professor disse que um sal pode ter caráter básico ou ácido por simplesmente ser formado por um ácido fraco e uma base forte e vice versa. então o MgSO4 séria um sal ácido por ser formado por ácido forte e base fraca, mas ele não possui nenhum íon H na fórmula, alguém pode me esclarecer? 

E se meu professor estiver certo, um ácido moderado (ex: H3PO2) mais uma base pouco solúvel (ex: Ca(OH)2) daria um sal ácido, básico ou neutro?

Até onde eu sei as duas ideias estão certas. Se ocorrer um neutralização parcial, pode formar um hidrogenossal, que possui H em sua constituição, ou pode formar um hidroxissal, que possui OH em sua composição. Agora, se a neutralização for total acontece isso que seu professor disse, assim MgSO4, é um sal ácido, já que o Hidróxido de Magnésio é uma base fraca e o ácido sulfúrico é um ácido forte.
Respondendo a sua pergunta. Se houver a neutralização de ácido hipofosforoso (H3PO2) com hidróxido de cálcio (Ca(OH)2), haverá a formação de um ácido básico, pois o H3PO2 é considerado moderado e o hidróxido ainda que pouco solúvel é considerado base forte.

Trata-se de uma confusão de termos. 
Para se referir a um ácido formado por neutralização parcial, com H em sua fórmula, é mais adequado o termo hidrogenossal, bem como hidroxissal para sais com OH na fórmula. 
Por outro lado, sais em solução aquosa podem gerar soluções com caráter ácido, básico ou neutro, conforme o ácido e a base que o formam (prevalência do mais forte). 

Hidrólise de sais:

Como exemplo darei o nosso conhecido bicarbonato de sódio, ou carbonato ácido de sódio: 
NaHCO_3  
Ele é formado por neutralização parcial do ácido carbônico com o hidróxido de sódio
H_2CO_3 + Na(OH) \rightarrow NaHCO_3 + H_2O
Por possuir hidrogênio ionizável em sua fórmula, é classificado como hidrogenossal ou sal ácido. Porém, sua solução é básica (veja que é formado pela reação de uma base forte com um ácido fraco).