Triângulo equilátero

(LIDSKI) Dentro de um triângulo equilátero é tomado um ponto arbitrário P, a partir do qual são traçadas as perpendiculares, PD, PE e PF, aos lados BC, CA e AB, respectivamente. Encontrar:
(PD + PE + PF)/(BD + CE +AF)

Spoiler:

O Lidski propõe uma solução que eu não gostei muito e o numerador da razão pedida eu achei por áreas, mas não faço a minima ideia de como encontrar o denominador.

Pra resolver esse problema, usarei dois resultados: Teorema de Viviani e de Carnot. Na possibilidade de você não conhecê-los, os demonstrei; e para que não ficasse tão 'oculto' numa única resposta, resolvi postá-los no Q.E.D. para caso fosse de interesse de mais alguém.

https://pir2.forumeiros.com/t107315-teorema-de-viviani#373281

https://pir2.forumeiros.com/t107316-teorema-de-carnot#373282

No caso de Carnot, apenas a primeira parte é necessária para resolver o problema em questão. 



Seja l o lado do triângulo equilátero e h, sua altura.
É trivial que 



Usando o T. de Viviani, temos:




que é o numerador da expressão.

Usando o T. de Carnot, descobriremos o denominador.

Desde que AB = AC = BC = l, podemos nomear BF = l - AF, DC = l - BD, EA = l - EC
AF² + BD² + CE² = BF² + CD² + AE² <--> AF² + BD² + CE² = (l-AF)² + (l-BD)² + (l-EC)²
<--> AF² + BD² + CE² = AF² + BD² + CE² - 2l(AF+BD+EC) + 3l²<--> l(3l - 2(AF+BD+EC) = 0
Como l =/= 0, temos que 3l = 2(AF+BD+EC) <--> AF + BD + EC = 3l/2, que é nosso denominador.

Logo,
(PD + PE + PF)/(AF + BD + CE) = 




Obs.: Dá um desconto aí, o triângulo da figura não é equilátero mas quebra o galho, rs.