Semelhança de triângulos ITA(2003)

Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do segmento CD e F um ponto sobre o segmento CE tal que m(BC) + m(CF) = m(AF). Prove que cos a = cos 2b, sendo os ângulos a = BÂF e b = EÂD.

Obs.: não tenho a prova desta questão.

Consegui resolver , e percebi que se encaixa mais com trigonometria do que com semelhança de triângulos .
Obs.: Desculpem-me pela qualidade da imagem.


Spoiler:



Relação trigonométrica arco duplo(sendo θ um ângulo qualquer):
cos 2 θ = cos²θ - sen²θ

Do triângulo AED tiramos que:
AE² = x² + x² / 4
AE= (x*v5)/2

cos β = x / (x*v5)/2
cos β = (2v5)/5

sen β = (x/2) * (2/xV5)
sen β = V5 /5

Sendo assim:
cos 2β  = 3/5

Calculando cos a:
cos a = DF/AF
cos a = (x - fc) / (x + fc)

Expressando FC em função de x:
AF² = AD² + DF²
(x + FC)² = x² + (x - FC)²
x² + 2xFC + FC² = x² + x² -2xFC + FC²
4xFC = x²
FC = x /4

Substituindo nos cos a:
cos a = (x - x/4) / (x +x/4)
cos a  = 3/5  = cos 2 β