Rotação

por mateus90 Dom 13 Mar 2016, 19:24

Mediante uma rotação, transforme

I) A equação x−y + 2 = 0 em uma da forma y′ + C = 0.
II) A equação x + y + 2 = 0 em uma da forma x′ + C = 0.

por **Carlos Adir** Dom 13 Mar 2016, 20:41

Dada a forma:
$\begin{bmatrix}\mathrm{cos \ \theta} & \mathrm{sen \ \theta} \\ \mathrm{-sen \ \theta} & \mathrm{cos \ \theta} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{x'} \\ \mathrm{y'} \end{bmatrix}$
Podemos então dizer:
$\begin{cases}\mathrm{x' = x \cdot cos \theta + y \cdot sen \theta} \\ \mathrm{y' = x \cdot (-sen \theta) + y \cdot cos \theta} \end{cases}$

Como temos que a primeira equação deve ser em função somente de y', então fazemos com que a equação se assemelhe:
$\\ \mathrm{x-y+2=0} \\ \mathrm{\dfrac{x}{\sqrt{2}} - \dfrac{y}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=0} \\ \mathrm{y'+C=x \cdot (-sen \theta)+y\cdot cos \theta + C = 0} \\ \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{-sen \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \\ \mathrm{cos \theta = \dfrac{-1}{\sqrt{2}}} \end{cases} \Rightarrow \theta = \dfrac{5\pi}{4} \\ \mathrm{y'+\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow x-y+2=0}$

De modo análogo temos com a segunda equação:
$\\ \mathrm{x+y+2=0} \\ \mathrm{c(x'+C) = x+y+2=0} \\ \mathrm{c\left(x \cdot cos \theta + y\cdot sen \theta + C \right )=x+y+2} \\ \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{cx \cdot cos \theta = x} \\ \mathrm{cy \cdot sen \theta = y} \end{cases} \Rightarrow \mathrm{\dfrac{cy\cdot sen \theta}{cx\cdot cos \theta}=\dfrac{y}{x} \Rightarrow tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4}} \\ \mathrm{Se \theta = \dfrac{\pi}{4} \Rightarrow c = \sqrt{2} \Rightarrow C=\sqrt{2}} \\ \mathrm{\sqrt{2}\left(y'+\sqrt{2} \right )=x+y+2 =0}$

por mateus90 Dom 13 Mar 2016, 22:35

Obrigado.

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