Demonstração

Provar que se x é positivo, então x+1/x≥2

Minha tentativa:

->(X²+1)/X≥2
X²≥0 ,X é diferente de 0(denominador) --> x²≥1
X²+1≥2

Como posso demonstrar que x≥1?

Só isolar x.

Muito obrigada!!! :-)

Matheus

Sua solução não está correta. Basta fazer um teste para x = 2:

(x + 1)/x ≥ 2 ---> (2 + 1)/2 ≥ 2 --> 3/2 ≥ 2 ---> 1.5 ≥ 2 ??????

O correto é:

x + 1 ≥ 2x ---> 1 ≥ 2x - x ---> 1 ≥ x ---> O mesmo que x ≤ 1

Teu erro foi passar 0 -1 dividindo para o 2º membro: para fazer isto é necessário inverter o sinal da inequação:

x + 1 ≥ 2x ---> x - 2x ≥ - 1 ---> - 1.x ≥ - 1 ---> x ≤ 1

Mily

Parece-me que você digitou errado sua expressão no enunciado: (x + 1)/x >= 2

Depois você escreveu na sua tentativa de solução: (x² + 1)/x ≥ 2

Se for (x² + 1)/x ≥ 2 ---> (x² + 1)/x - 2 ≥ 0 ---> (x² + 1)/x - 2.x/x ≥ 0 ---> (x² - 2x + 1)/x ≥ 0 --->

(x - 1)²/x ≥ 0

O termo do numerador é sempre positivo (está elevado ao quadrado).
Assim o sinal do 1º membro depende apenas do sinal do denominador: Solução x > 0

Seu gabarito está errado.

Por favor confira

Verdade.

Matheus

Este erro é muito frequente: eu mesmo já o cometi várias vezes, por distração.
Sempre que estiver tratando de inequações deve-se tomar o cuidado de, ao multiplicar a inequação por um número negativo, o sinal da inequação deve ser invertido.

Outro cuidado é nunca multiplicar uma equação por um termo que contenha a incógnita (no caso x). Isto porque x pode ser maior ou menor que zero, e isto vai dar erro. Na presente questão você multiplicou corretamente os dois membros por x porque o enunciado afirmou que x > 0

Meu enunciado estava correto. Na minha tentativa eu tirei mmc da parte esquerda e não sabia como continuar. Porém, fiz outra solução parecida com a sua :



E como x>0 , a inequação não muda o sinal

Acontece que, neste caso QUALQUER valor real de x atende, porque a expressão está elevada ao quadrado.

Logo o seu gabarito x ≥ 1 estaria errado: Para x = -1 ---> (- 1 - 1)² ≥ 0 ---> 2 > 0 verdade ---> Contraria o gabarito


Vou provar, por outro modo que: x + 1/x ≥ 2 ---> Elevando ambos os membros ao quadrado --->

(x + 1/x)² ≥ 2² --> x² + 2 + 1/x² ≥ 4 ---> x² - 2 + 1/x² ≥ 0 --->

(x - 1/x)² ≥ 0 ---> Verdade pois o 1º membro é sempre positivo ou nulo (é nulo para x = 1)

Gabarito do livro realmente está errado! Mil desculpas! Muito obrigada aos 2 pela ajuda  .