Funções quadráticas

Pessoal, não estou conseguindo fazer esta questão: 

Determinar m na equação do 2º grau (3m-2)x^2 + 2mx + 3m=0 para que tenha uma única raiz entre -1 e 0. 

Desde já agradeço!

f(x) = (3.m - 2).x² + 2.m.x + 3.m

Para x = -1 ---> f(-1) = (3.m - 2).(-1)² + 2.m.(-1) + 3.m ---> f(-1) = 4.m - 2

(3.m - 2).(4.m - 2) > 0 ---> 6.m² - 7.m + 2 > 0 ---> Raízes m = 1/2 e m = 2/3 ---> m < 1/2 e m > 2/3

Para x = 0 ---> f(0) = 3.m

(3m - 2).3.m > 0 ---> 3.m² - 2.m < 0 ---> Raízes m = 0 e m = 2/3 ---> 0 < m < 2/3

Interseção 0 < m < 1/2

Elcio, o gabarito dá 0 < m <1/2, será que ele pode estar errado? Pelo o que eu entendi, ele pede -1 < x < 0, para isso, tanto para o -1 quanto para o 0:

a.f(-1)>0

a.f(0)>0

Mas quando se faz isso, a intersecção que se acha no final é: m<0 e m>2/3.

Outra dúvida, não se deveria considerar o caso em que o delta deve ser igual a zero, já que ele pede uma única raiz?

Muito obrigado!

Editei minha solução. É o único modo de chegar no gabarito

Para delta = 0 haveria uma raiz dupla num determinado ponto, o que não atende o enunciado:

1) Ou a raiz dupla está fora do intervalo (e deve haver uma ÚNICA raiz no intervalo)
2) Ou a raiz dupla está dentro do intervalo (e não seria ÚNICA)

FValença

Eis uma solução mais simples e direta:

f(x) = (3.m - 2).x² + 2.m.x + 3.m

Já provei que f(-1) = 4.m - 2 e que f(0) = 3.m

Para existir uma ÚNICA raiz no intervalo ]-1, 0[ o gráfico da função deve cortar o eixo x uma ÚNICA vez, neste intervalo.

Isto significa que f(-1) e f(0) tem sinais OPOSTOS, isto é um deles deve ser positivo e o outro negativo (não importa qual é qual):


f(-1).f(0) < 0 ---> (4.m - 2).3m < 0 ---> (4.m - 2).m < 0 ---> 2m² - m < 0 --> Raízes m = 0 e m = 1/2

Esta última função é uma parábola com a concavidade voltada para cima: ela é negativa ENTRE as raízes:

0 < m < 1/2

Entendi! Muito obrigado mesmo, Elcioschin!