EN 2014

por Yuri Pantoja Seg 01 Fev 2016, 14:36

A soma das raízes reais distintas da equação ||x-2|-2|=2 é igual a:
a)0
b)2
c)4
d)6
e)8

Minha dúvida é em como resolver essa inequação, e no caso de ser ||x-2|-2|>2 , como ficaria?
Obrigado

por Convidado Seg 01 Fev 2016, 17:14

Oi amigo, veja que:

|x-2|=\left\{\begin{matrix} x-2,\;\;x \geqslant 2\\ 2-x,\;\;x \leqslant 2 \end{matrix}\right.

Vamos aos casos:

i) x≥2
|x-2-2|=2

|x-4|=2

Temos dois subcasos, pois

|x-4|=\left\{\begin{matrix} x-4,\;\;x \geqslant 4\\ 4-x,\;\;x \leqslant 4 \end{matrix}\right.

Ou seja,

i.1) x≥4
x-4=2 \rightarrow x=6 que é maior que 4, logo é solução.

i.2) 2≤x≤4
4-x=2 \rightarrow x=2 que faz parte do intervalo; também é solução.

ii) x≤2
|2-x-2|=2

|-x|=2 \rightarrow |x|=2 \rightarrow x=\pm 2

Os dois valores satisfazem o intervalo de estudo. Logo, o conjunto solução é:

S=\left \{ 6,2,-2 \right \}

Cuja soma dos elementos é 6. Alternativa D.

Caso tenhamos a inequação, trabalharemos novamente com os intervalos:

i) x≥2
|x-4| > 2

i.1)x≥4
x-4 > 2

x > 6, que satisfaz a condição i.1

i.2) 2≤x≤4
4-x > 2

x < 2

Em confronto com a condição i.2, é um absurdo, logo neste caso não há soluções.

ii) x≤2
|-x|>2 \rightarrow |x|>2 \rightarrow

x<-2 \;\;\vee \;\;x>2

Que em confronto com ii só tem x<-2 como solução.

Logo a solução da inequação é
S=\left \{ x \in \mathbb{R} \;|\;x<-2 \vee x>6 \right \}

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