Trigonometria

por **boris benjamim de paula** Seg 22 Nov 2010, 21:02

resolva a equação em R:

$\large \sqrt{3}.senx-cosx=-\sqrt{3}$

$\bg_green \large x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi\\ou\\x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$

por **Elcioschin** Seg 22 Nov 2010, 21:39

V3*senx - cosx = - V3

(V3*senx - cosx)² = (-V3)²

3*sen²x + cos²x - 2*V3*senx*cosx = 3

2*sen²x + (sen²x + cos²x) = 3 + 2*V3*senx/cosx

2*sen²x + 1 = 3 + 2*V3*senx/cos

2*sen²x - 2 = 2*V3*senx/cosx

(sen²x - 1)² = (V3*senx*cosx)²

(sen²x)² - 2*sen²x + 1 = 3*sen²x*(1 - sen²x)

4*(sen²x)²- 5*(sen²x) + 1 = 0 ----> Equação do 2º grau na variável sen²x

Discriminante ----> D = b² - 4ac ----> D = (-5)² - 4*4*1 ----> D = 9 ----> V(D) = 3

Raízes ----> sen²x = (5 + - 3)/2*4 ----> sen²x = 1 ----> senx = + - 1 ----> x = 2*k*pi + - 3*pi/2

Voltando à equação original, vê-se que só vale x = 2*k*pi + 3*pi/2

ou sen²x = 1/4 ----> senx = + - 1/2 ----> Pelo mesmo motivo senx = -1/2 ----> x = 2*k*pi + 11*pi/6

por **Euclides** Seg 22 Nov 2010, 21:44

Fiz uma outra abordagem algébrica, por isso acrescento outra resposta

$\\\sqrt{3}\left ( senx+1 \right )=cosx\\\\\frac{cosx}{1+senx}=\sqrt{3}\,\,\to\,\,\frac{\sqrt{1-sen^2x}}{1+senx}=\sqrt{3}\,\,\to\,\,\frac{1-sen^2x}{(1+senx)^2}={3}\\\\1-sen^2x=3+3sen^2x+6senx\\4sen^2x+6senx+2=0\\\\\begin{cases}senx=-0,5\\senx=-1 \end{cases}$