Inequação Logaritmica

por juniorderrossi Qua 04 Nov 2015, 19:39

Dada a inequação \log_{(x-2)} x<2 , qual a sua solução?

Resposta: ]2,+∞[ - [3,4]

por anaclaracn Qua 04 Nov 2015, 20:52

Primeiro, temos que respeitar as condições de existência do log.
log_ba=x
b>0 e b≠1
a>0
Logo, x-2>0 ∴ x>2
x-2≠1, logo x≠3

Resolvendo o logaritmo, teremos (x-2)²>x
x²-4x+4=x
x²-5x+4=0
(x-4)*(x-1)=0
x=4 ou x=1
Dessa forma, x>4 ou x>1

Como x>2, mas não pode ser 3, e a bolinha vai ficar aberta em 4 e 1 (porém como x>2 já excluimos o 1), teremos S= ]2,+∞[ - [3,4]

por **Carlos Adir** Qua 04 Nov 2015, 21:25

Boa noite Anaclaracn,

Só uma coisinha que eu gostaria de observar:
Quando representamos:
]2, +∞[ - [3, 4]
Estamos indicando
]2, 3[∪]4, +∞[
Ou seja, estamos excluindo qualquer valor entre 3 e 4.

Se queremos retirar somente os valores de 3 e 4, o correto é representar:
]2, +∞

4}

Outra coisinha, é que:

[quote]Resolvendo o logaritmo, teremos (x-2)²>x
x²-4x+4=x
x²-5x+4=0
(x-4)*(x-1)=0
x=4 ou x=1
Dessa forma, x>4 ou x>1

(x-2)² > x
x² - 5x + 4 > 0
(x - 4)(x - 1) > 0
Podemos ver então que x < 1 e x > 4 satisfariam.
Portanto, além da condição de existência, que é x > 2 e x≠3, é necessário que x > 4.

Assim, a resposta seria ]4, +∞[

Contudo, podemos ver que se o valor da base for menor que 1, então teremos o valor do logarítimo como negativo, isto é:
$\\ \mathrm{Se \ 2 < x < 3} \\ \mathrm{ 0 < x-2 < 1} \\ \mathrm{\log_{x-2}(x)<0} \\ \mathrm{Por \ exemplo, \ x=2,5:} \\ \mathrm{\log_{2,5-2}(2,5)=\log_{0,5}\left(\dfrac{5}{2} \right )=\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{5}{2} \right )=\log_{2} \dfrac{2}{5}<0}$
Portanto, se o valor de x-2 for menor que 1, sempre satisfará.

Assim, o gabarito está correto.

por anaclaracn Qua 04 Nov 2015, 21:34

Carlos Adir escreveu:Boa noite Anaclaracn,

Só uma coisinha que eu gostaria de observar:
Quando representamos:
]2, +∞[ - [3, 4]
Estamos indicando
]2, 3[∪]4, +∞[
Ou seja, estamos excluindo qualquer valor entre 3 e 4.

Se queremos retirar somente os valores de 3 e 4, o correto é representar:
]2, +∞
4}

Outra coisinha, é que:

Resolvendo o logaritmo, teremos (x-2)²>x
x²-4x+4=x
x²-5x+4=0
(x-4)*(x-1)=0
x=4 ou x=1
Dessa forma, x>4 ou x>1
(x-2)² > x
x² - 5x + 4 > 0
(x - 4)(x - 1) > 0
Podemos ver então que x < 1 e x > 4 satisfariam.
Portanto, além da condição de existência, que é x > 2 e x≠3, é necessário que x > 4.

Assim, a resposta seria ]4, +∞[

Contudo, podemos ver que se o valor da base for menor que 1, então teremos o valor do logarítimo como negativo, isto é:
$\\ \mathrm{Se \ 2 < x < 3} \\ \mathrm{ 0 < x-2 < 1} \\ \mathrm{\log_{x-2}(x)<0} \\ \mathrm{Por \ exemplo, \ x=2,5:} \\ \mathrm{\log_{2,5-2}(2,5)=\log_{0,5}\left(\dfrac{5}{2} \right )=\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{5}{2} \right )=\log_{2} \dfrac{2}{5}<0}$
Portanto, se o valor de x-2 for menor que 1, sempre satisfará.

Assim, o gabarito está correto.

Obrigado pelas correções, Carlos Adir! :-)
Desculpa pelos erros, juniorderrossi.

por juniorderrossi Qua 04 Nov 2015, 22:17

Obrigado pela ajuda, Carlos e Ana.

O que não ficou claro para mim ainda é o porquê vocês inverteram a desigualdade alí?

Por exemplo, eu tenho o log:

log_{(x-2)}x<2

Por que, ao aplicar a propriedade básica do logaritmo, a desigualdade inverteu?

Não ficaria (x-2)² < x em vez de (x-2)² > x?

Pelo material que eu andei estudando, só inverte a desigualdade quando a base do logaritmo pertencer ao intervalo (0,1). Como, neste caso, temos uma incógnita na base não deveríamos considerar dois casos?

O primeiro quando X-2 >0 (x>2) e x-2 ≠1 (x≠3)
O segundo quando 0 < x-2 <1 (2< x <3).