Questão CN 2015-2016 (CONJUNTOS)

Dado que o número de elementos dos conjuntos A e B são, respectivamente, p e q, analise as sentenças que seguem sobre o número N de subconjuntos não vazios de A U B.

I -   N = 2^p + 2^q  - 1
II -  N = 2^pq-1
III - N = 2^p+q  - 1
IV - N = 2^p  - 1

Se a quantidade de elementos de A(intercessão)B é p, a quantidade dessas afirmativas que são verdadeiras é :

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Se n[A ∩ B] = p e n[A] = p, onde n[C] representa o número de elementos em C, então temos que  A ⊂ B
Portanto, temos no conjunto A∪B um total de q elementos.

Se pegarmos um conjunto em aberto, podemos colocar ou não o primeiro elemento de A. Dando 2 possibilidades.
Após escolhido se põe ou não esse elemento, temos 2 maneiras de escolher o segundo elemento: se devemos pôr ou não.
Então, se temos um conjunto de q elementos, podemos ter 2^q subconjuntos.
Como o enunciado diz que é subconjuntos não vazios, descartamos a possibilidades em que dissemos "não" pra todos elementos.
Portanto, temos 2^q - 1 subconjuntos de A∪B

Agora, devemos analisar:
I - Errada
II - Errada
III - Correta se, e somente se p = 0
IV - Errada

Agora fica a dúvida: B ou C? 

Então, o gabarito provisório dessa questão, por incrível que pareça, é A, pretendo enviar recurso, acha que seria melhor pedir anulação ou alteração do gabarito ? Creio que o gabarito correto deveria ser C.

O gabarito está correto. Veja que a IV é 2^p, não 2^q como eu disse. Portanto, na verdade ela está errada.
A III não pode-se considerar como correta. Ela somente é correta se p = 0, ou seja, quando o conjunto A é vazio. Em todos os outros casos ela está errada.

Spoiler:

Movido para Escolas Militares - Matemática

Carlos Adir escreveu:O gabarito está correto. Veja que a IV é 2^p, não 2^q como eu disse. Portanto, na verdade ela está errada.
A III não pode-se considerar como correta. Ela somente é correta se p = 0, ou seja, quando o conjunto A é vazio. Em todos os outros casos ela está errada.

Spoiler:

Movido para Escolas Militares - Matemática

Carlos eu fiz a mesma resolução que você na primeira vez (letra C). Acho que houve um erro de digitação do enunciado aqui no fórum, na prova, interpreta-se a afirmação: "Se a quantidade de elementos de A(intercessão)B é p" como parte da afirmativa IV, veja só:

Assim fazendo parte somente da afirmativa IV, torna-se verdadeira a III caso A ∩ B seja vazio chegando a letra C. No entanto, a questão não informa isso e ocorre no mínimo uma ambiguidade (não sabemos se a afirmativa destacada faz parte do enunciado ou da afirmativa IV), na minha opinião seria justo que fosse anulada.
Pode dar um retorno com sua opinião Carlos?
Agradeço a atenção!

Pensando melhor, fiz erroneamente no primeiro post.
Agora, corrigindo:
n[A]=p
n[B]=q
n[A∩B]=k
Logo, teriamos que
n[A∪B]=p+q-k
Assim, teríamos, como explicado na primeira, que o número de subconjuntos de A∪B é 2^(p+q-k)-1
A resposta desse k é que se temos um mesmo elemento em A e B, como 1, então não podemos formar dois conjuntos distintos só com um número "1".


Se tomarmos algo mais "numérico", como:
A={1, 4} ---> p =2
B={1, 2, 3} ---> q = 3
A∩B={1} ---> k = 1
A∪B={1, 2, 3, 4}
Poderíamos ter os conjuntos:
{1},{2},{3},{4}
{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}
{1, 2, 3},{1,2,4}{1,3,4}{2,3,4}
{1, 2, 3, 4}
Teríamos então 15 conjuntos.
Sendo as assertivas:
I) 15 = 2^2 +2^3 - 1 = 11 ---> Errado
II) 15 = 2^(2 . 3 -1) = 32 ---> Errado
III) 15 = 2^(2+3)-1=31 ---> Errado
IV) 15 = 2^(1)-1=1 ---> Errado 
Se formos achar o número sem contar "dedo a dedo" os conjuntos, teriamos:
N=2^(p+q-k)-1
Como p=2, q=3 e k=1, então:
N=2^(2+3-1)-1=2^(4)-1=15
Que condiz com o achado acima no "dedo a dedo"

Assim, estariam todas erradas.

Mas temos que ver se a questão que estava na prova falava como o escrito no inicio do post, ou se fala como na imagem. Se ficou confuso, talvez dá pra entrar com recurso. Mas acho que dificilmente aceitarão.


Errei lá em cima por falta de atenção 

Compreendi em partes Carlos agradeço muito. A questão da imagem é a questão original.
No entanto, o problema que estou vendo é que se "k" não existir, as duas afirmativas são válidas. Exemplo:
A = {1,2} - p elementos (2)
B = {3,4,5} - q elementos (3)
A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso teremos 2^5 - 1 subconjuntos não vazios, ou seja 2^(p+q) - 1 (III verdadeira)

Já se A for igual B, exemplo:
A = {1,2} - p elementos (2)
B = {1,2} - q elementos (2)
A U B = {1,2}, ou seja a quantidade de subconjuntos não vazios seria
2^2 - 1, ou seja 2^p - 1.

O que para mim abre brechas para uma segunda interpretação é o fato de que ele não fala se há elementos comuns entre A e B (o número "k" que você utilizou), dessa maneira não havendo acredito (caso não esteja equivocado) que pode-se encontrar duas afirmações corretas.
O que você acha?

Desculpe a insistência, é que realmente essa questão me deixou bem confuso.
Agradeço a atenção.

Armando Vieira escreveu:Compreendi em partes Carlos agradeço muito. A questão da imagem é a questão original.
No entanto, o problema que estou vendo é que se "k" não existir, as duas afirmativas são válidas. Exemplo:
A = {1,2} - p elementos (2)
B = {3,4,5} - q elementos (3)
A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso teremos 2^5 - 1 subconjuntos não vazios, ou seja 2^(p+q) - 1 (III verdadeira)

Já se A for igual B, exemplo:
A = {1,2} - p elementos (2)
B = {1,2} - q elementos (2)
A U B = {1,2}, ou seja a quantidade de subconjuntos não vazios seria
2^2 - 1, ou seja 2^p - 1.

O que para mim abre brechas para uma segunda interpretação é o fato de que ele não fala se há elementos comuns entre A e B (o número "k" que você utilizou), dessa maneira não havendo acredito (caso não esteja equivocado) que pode-se encontrar duas afirmações corretas.
O que você acha?

Desculpe a insistência, é que realmente essa questão me deixou bem confuso.
Agradeço a atenção.

Para dar um último completo e facilitar a compreensão do que estou querendo dizer: Se alterasse a enunciado para: a quantidade dessas afirmativas que sempre serão verdadeiras é :
Nesse caso seria nenhuma, pois nem sempre os casos citados serão validos, no exemplo que fiz, seria somente se o "k" não existisse (ou seja, não houvesse elemento comum) mas como não foi utilizada nenhuma palavra totalizadora, interpretei da forma descrita.
Espero ter sido claro e mais uma vez muito obrigado pela atenção!

Minha mensagem entre as duas tuas não foi:

Também me deixou confuso.

Mas acho que são pra quaisquer conjuntos A e B, o que o enunciado não diz.
Contudo, esse "acho" já é uma brecha. Da mesma maneira que existem candidatos que interpretaram da sua maneira, exitem candidatos que interpretaram com a minha.
Amanhã vejo meu professor de cálculo e perguntarei-o sobre essa questão, se o gabarito condiz. Um estudante - como eu - não pode afirmar com certeza qual interpretação está correta. Amanhã trarei a resposta de meu professor.

É, o incremento dessa palavra já influencia. Amanhã então trarei uma terceira opinião.

Carlos Adir escreveu:Minha mensagem entre as duas tuas não foi:

Também me deixou confuso.

Mas acho que são pra quaisquer conjuntos A e B, o que o enunciado não diz.
Contudo, esse "acho" já é uma brecha. Da mesma maneira que existem candidatos que interpretaram da sua maneira, exitem candidatos que interpretaram com a minha.
Amanhã vejo meu professor de cálculo e perguntarei-o sobre essa questão, se o gabarito condiz. Um estudante - como eu - não pode afirmar com certeza qual interpretação está correta. Amanhã trarei a resposta de meu professor.

É, o incremento dessa palavra já influencia. Amanhã então trarei uma terceira opinião.

Muito obrigado por toda atenção Carlos!