Solução inteira e positivas

Relembrando a primeira mensagem :

(UNICAP) Qual o número de soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 8.
R: 21

Vou passar um 'macete' que aprendi no livro do morgado pra resolver esses tipos de questões de maneira muito rápida, que é chamado de combinações completas, representado por CRn,p
Cn,p é o nº de modos de escolher p objetos distintos entre n objetos distintos dados, e CRn,p é o número de modos de escolher p objetos distintos ou não entre n objetos distintos dados.
CRn,p = C (n+p-1) , p

Ex:
De qtos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores?

A resposta nao é C7,4 = 35. C7,4 seria o modo de escolher 4 sabores diferentes entre os 7 sabores oferecidos, isto é , C7,4 seria o nº de modos de comprar 4 sabores diferentes em uma loja que os oferece em 7 sabores. A resposta desse problema é representada por CR7,4, número de combinações completas de classe 4 de 7 objetos. Portanto CR7,4 é o nºde modos de escolher 4 objetos entre 7 objetos distintos, valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez.
CR7,4 pela fórmula é o mesmo que C(7+4-1) , 4 = C10,4 =210

Outros exemplos:
Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z = 5
R. CR3,5 = C(3+5-1),5 = C7,5 = 21

Resolvendo o exercício do Paulo Testoni:
Qual o número de soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 8.

Dessa vez ele pede inteiras e positivas que é diferente de inteiras e não negativas.
Fazendo x = 1+a , y = 1+b e z = 1 + c, fica:
1+a + 1+ b + 1+ c = 8
a + b + c = 5, com a , b e c não negativos, assim o problema se trasnforma em " Qual o número de soluções inteiras e não negativas da equação a + b + c = 5 ? "
A resposta é CR3,5 = C(3+5-1),5 = C7,5 = 21

Outro:
Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da inequação
x + y + z ≤ 5 ?
1º solução:
Podemos dividir em casos, onde: x+ y + z = 5 ; x+y+z = 4 ; ... ; x+y+z = 0
Logo, a resposta é:
CR3,5 + CR3,4 + CR3,3 + CR3,2 + CR3,1 + CR3,0 =
= C7,5 + C6,4 + C5,3 + C4,2 + C3,1 + C2,0 = 21+15+10+6+3+1 = 56

2º solução:

x + y + z ≤ 5
defina-se folga da solução por f = 5 - (x+y+z). Introduzindo uma variável de folga, fica:
x + y + z + f = 5
CR4,5 = C8,5 = 56
Folga é um conceito meio difícil de explicar, no livro fala mais sobre isso. Mas sempre funciona qdo se trata de uma inequação, basta introduzir a variável de folga. Veja outro exemplo pra ficar mais claro:

Quantas são as soluções inteiras não negativas de x + y + z < 10
Nesse caso é a mesma coisa, porém ao invés de ser ≤ é <, o que muda é que ao introduzir a variável de folga, vc deve substrair 1 do 10, pois nao inclui a equação x + y + z = 10, então fica:
x + y + z + f = 9
A repos é CR4,9 = C12,9 = 220

Quantas são as soluções inteiras positivas de x + y + z < 10
x + y + z < 10
x = 1 + a ; y = 1+ b ; z = 1+ c
a + b + c < 7 com, a,b,c não-negativos. Introduzindo a variável de folga, fica:
a+ b + c + f = 6
R. CR4,6 = C9,6 = 84

As demonstrações vcs encontram no livro.
Fonte: A.C Morgado

Espero ter ajudado..

Muito bom Luck
Obrigado

A fórmula do Adriano não aparece pra mim. Que fórmula é esta???

Link Externo:

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x+y+z+.... = k

k= Valor da soma

n = Número de termos da equação

C(k-1,n-1)= (k-1)!/[(n-1)!*(k-n)!]