Parte inteira de x

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Parte inteira de x

Mensagem por OBMarcos em Sex Dez 08 2017, 01:07

Qual é a parte inteira de 
 X = 1 + 1/√2 + 1/√3 + ............ + 1/√99 1/√100 ?
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Re: Parte inteira de x

Mensagem por fantecele88 em Sex Dez 08 2017, 14:49

Primeiro irei demonstrar uma desigualdade:



Perceba que:






Perceba que:



De (I) e (II) tiramos que:




Utilizando essa desigualdade no exercício:



Somando tudo:



Portanto temos que a parte inteira de x é igual a 19 ou 18.

Então, estava pensando nisso para resolver o exercício, mas acabei "empacando" nessa parte, porém apareceu um probleminha para eu resolver agora, portanto tente completar o exercício, acho que é por esse caminho que se resolve ele.

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Re: Parte inteira de x

Mensagem por OBMarcos em Sex Dez 08 2017, 19:08

Obrigado!

 Pensei um pouco e acho que sei como terminar o problema.

  Podemos fazer essa soma a partir de n=2, daí fica 
√100 -√2 < 1/(2√2) + 1/(2√3) + ... + 1/(2√100) < √100 - √1
2(10 - √2) < 1/√2 + 1/√3 + ... < 18
17,... < 1/√2 + 1/√3 + ... < 18
A parte inteira dessa soma é 17 , e adicionando 1 dá 18
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Re: Parte inteira de x

Mensagem por evandronunes em Sex Dez 08 2017, 19:42

Uma outra forma de encontrar.

Seja um número k positivo, temos que 

\dfrac{1}{\sqrt{k}} > 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k} > \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}.

Demonstração:

1º) \left(\dfrac{1}{\sqrt{k}} + 2 \sqrt{k}\right)^2 = \dfrac{1}{k} + 4 + 4 k \ \ > \ \ 4 + 4 k = (2 \sqrt{k+1})^2

o que implica  \dfrac{1}{\sqrt{k}} > 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k}


2º)  \left ( 2 \sqrt{k+1} - \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \right ) ^2 = 4k  + \dfrac{1}{k+1} \ \ > \ \  4k = (2\sqrt{k})^2

logo,  2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k} > \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}.


Agora,

\frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}} > (2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) + (2 \sqrt{4} - 2 \sqrt{3}) + \cdots + (2 \sqrt{101} - 2 \sqrt{100}) = 2 \sqrt{101} - 2\sqrt{2}  = 17,2... 

E, 

\frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}} < ( 2\sqrt{2} -  2\sqrt{1}) + (2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) + \cdots + (2 \sqrt{100} - 2 \sqrt{99}) = 2 \sqrt{100} - 2\sqrt{1}  = 18

Assim,  17,2... <  \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}} <  18

Adicionando 1 na desigualdade, vem 18,2... < 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}} <  19

Portanto, a parte inteira é 18.

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