Funcao sem modulo

por brayanbpo Dom 26 Abr 2015, 00:47

Sejam f(x) = |x| + |x − 7| e g(x) = x^2 − 9.
(a) Determine f ◦ g(x);
(b) escreva f ◦ g(x) sem usar modulos;

por **Carlos Adir** Dom 26 Abr 2015, 15:16

$\begin{cases} f(x)=|x| + |x-7| \\ g(x)=x^2-9\end{cases}$
$f \circ g(x)=f(g(x))=|g(x)|+|g(x)-7|=|x^2-9|+|x^2-9-7|$

Assim, podemos perceber:
$\\ x^2-9 <0 \Leftrightarrow -3 < x < 3 \\ x^2-16 < 0 \Leftrightarrow -4 < x < 4$
Assim, podemos escrever:
$f \circ g(x)= \begin{cases} (x^2-9)+(x^2-16) ; \ \ \ \ \ se \ x<-4 \\ (x^2-9)-(x^2-16); \ \ \ \ se \ -4 <x < -3 \\ -(x^2-9)-(x^2-16); \ \ se \ -3 < x < 3 \\ (x^2-9)-(x^2-16); \ \ \ \ se \ 3 < x < 4 \\ (x^2-9)+(x^2-16); \ \ \ \ se \ 4 < x \end{cases}$
Ou seja:
$f \circ g(x)= \begin{cases} 2x^2-25 ; \ \ \ \ \ se \ x<-4 \\ 7 ; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ se \ -4 <x < -3 \\ -2x^2+25; \ \ se \ -3 < x < 3 \\ 7; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ se \ 3 < x < 4 \\ 2x^2-25; \ \ \ \ se \ 4 < x \end{cases}$

por brayanbpo Dom 26 Abr 2015, 20:56

Carlos eu nao entendi o que vc fez nao...
eu fiz do seguinte jeito:
|x^2 - 9| == x^2 - 9, se x^2 - 9 >= 0
= -x^2 + 9, se x^2 - 9 < 0

E assim eu fiz o outro, mas nao estou conseguindo ver o resultado, vc poderia me falar se esse meu jeito esta errado? E se estiver certo tem como vc resolver desse jeito por favor?

por **Carlos Adir** Dom 26 Abr 2015, 21:12

Está correto, e foi o que fiz, mas de uma maneira mais direta.
$|x^2-9| = \begin{cases}x^2-9 , \ \ \ \ se \ x^2-9 \ge 0 \\ -x^2 + 9, \ \ se \ x^2-9<0 \end{cases}$

Escrever:
$x^2-9<0$
ou
$-3 < x < 3$
Dá na mesma coisa.

A função
$f \circ g(x)=|x^2-9|+|x^2-16|$
Temos os dois módulos. Separei em vários casos de acordo com o intervalo.
Se x < -4, então a função fica (x²-9) + (x²-16), porque além de atender x < -3, atende também x < -4
Agora,
Se -4 < x < -3, então a função fica (x²-9)+(-(x²-16)), porque atende x < -3, mas não que x < -4.
Deste modo, já fui separando cada caso.