(Fuvest-SP) Resolva a inequação

por GLAYDSON Sex 06 Fev 2015, 21:43

(Fuvest-SP) Resolva a inequação x² - x - 1 ≥ 0
√x² - √3x

{x ∈ ℝ | x ≤ 1-√5 ou x > 3}
2

por **Carlos Adir** Sex 06 Fev 2015, 21:56

o 3 está dentro da raiz do segundo?
Considerando que esteja.
Primeira coisa para termos positivo, é que o de cima seja positivo, e o debaixo seja positivo. Ou ambos sejam negativos.
Primeiros caso:
Ambos positivos
$\\ (I) \ \ x^2-x-1 \ge 0\Rightarrow \left|x-\dfrac{1}{2}\right| \ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ \Rightarrow x \le \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \ \ ou \ \ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \le x \\ (II) \ \ \sqrt{x^2}-\sqrt{3x} > 0 \Rightarrow |x|> \sqrt{3x} \ \ \ \ \ \Leftarrow \ x \ge 0 \\ \Rightarrow x^2 > 3x \Rightarrow x<0 \ \ ou \ \ x>3 \Rightarrow x>3$
Percebemos então que nunca ambos serão positivos. Logo, queremos que ambos sejam negativos. Neste caso, temos que o de cima será negativo no intervalo [(1-√5)/2, (1+√5)/2] e o de baixo será negativo quando pertencer ao intervalo ]0, 3[
Logo, o conjunto solução é a intersecção dos dois conjuntos, isto é, a solução é o intervalo:
]0, (1+√5)/2]
(Fuvest-SP) Resolva a inequação 8ry6oyB

O gráfico da função confirma.

por GLAYDSON Sáb 07 Fev 2015, 11:13

O denominador tem uma raiz para os dois. Eu não sei colocar uma para o x² - 3x.

por **Carlos Adir** Sáb 07 Fev 2015, 11:43

É só colocar parênteses, isto é:
(x²-x-1)/[√(x²-3x)]≥0
Então temos:
$\\ \dfrac{x^2-x-1}{\sqrt{x^2-3x}} \ge 0 \\$
Como lidamos com reais:
$x^2-3x> 0 \Rightarrow x<0 \ \ ou \ \ x>3$
Como raiz é sempre positiva, então para que a igualdade toda seja positiva, o de cima deve ser positivo:
$\\ x^2-x-1 \ge 0 \Rightarrow x^2-2\cdot x \cdot \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2} \right )^2 \ge 1 + \left(\dfrac{1}{2} \right )^2 \\ \Rightarrow \left(x-\dfrac{1}{2} \right )^2\ge \dfrac{4+1}{4} \Rightarrow \left|x-\dfrac{1}{2}\right| \ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ \Rightarrow x \le \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \ \ ou \ \ x \ge \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
Logo, unindo à condição de existência, temos que o conjunto solução será:
$\\ \begin{cases}x < 0 \ \ ou \ \ x>3 \\ x \le \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \ \ ou \ \ x \ge \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow x \le \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \ \ ou \ \ x > 3 \\ S=\left\{x \in \mathbb{R}/. \ x \le \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \ \ ou \ \ x>3 \right \}$
O que confirma o gabarito.

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