Calcule a expressao

por L.Lawliet Seg 26 Jan 2015, 23:41

Seja:

$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}+\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}=1$

Calcule o valor de:

$\left |\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right |+\left |\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac} \right |+\left |\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc} \right |$

Não tenho o gabarito.
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Pessoal, não sei se ajudar, mas completando quadrados, eu cheguei a seguinte expressao:

$\frac{(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}{2abc}=0$

por **Carlos Adir** Ter 27 Jan 2015, 09:40

Pela tua expressão, tem-se que:
(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) =0
Pois abc=/= 0, e não existe divisão por 0.
Deste modo, tem-se uma das alternativas:
a+b-c=0
a+c-b=0
b+c-a=0
Ou seja, um número deve ser a soma dos outros 2.
Como são todas incógnitas, e a expressão é simetrica, escolhamos o c:
c=a+b
Temos então que, substituindo na expressão:
$\\ \left|\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right|+\left|\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2ac}\right|+\left|\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2bc} \right|= \\ \dfrac{|a^2+b^2-a^2-2ab-b^2|}{|2ab|}+\dfrac{|a^2-b^2+a^2+2ab+b^2|}{|2a(a+b)|}+\dfrac{|a^2+2ab+b^2+b^2-a^2|}{|2b(a+b)|} \\ = \dfrac{|-2ab|}{|2ab|}+\dfrac{|2a^2+2ab|}{|2a(a+b)|}+\dfrac{|2ab+2b^2|}{|2b(a+b)|}=\dfrac{|2ab|}{|2ab|}+\dfrac{|2a(a+b)|}{|2a(a+b)|}+\dfrac{|2b(a+b)|}{|2b(a+b)|} \\ = 1 + 1 + 1 = 3$
Resposta final, 3.

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