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Menor valor de n.

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Menor valor de n. Empty Menor valor de n.

Mensagem por Cam™ Qua 19 Ago 2009, 00:57

Qual é o menor valor do número natural positivo n para que (√3 + i)n, onde i é a unidade imaginária, seja um número real?


A ) 2
B ) 3
C ) 4
D ) 5
E ) 6

---------------

Não tenho idéia como resolver essa....

Muito obrigada pela ajuda!
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Menor valor de n. Empty Re: Menor valor de n.

Mensagem por Paulo Testoni Qua 19 Ago 2009, 07:43

Hola Cam™.

Se fosse numa prova eu faria o desenvolvimento começando por 2, dessa forma acertaria a questão já que as alternativas são baixas.

z^n = (√3 + i )^n

z = √3 + i

|z| = √[(√3)² + 1²]

|z| = √(3+1)

|z| = √4

|z| = 2

cosθ= a/|z| = √3/2

senθ = b/|z| = 1/2

θ = π/6 ==> argumento

z^n = 2^n .( cos (n* π/6) + i. sen (n*πi/6) )

Para z^n ser real devemos ter:

sen(n*π/6) = 0 ==> parte imaginária

n*π/6 = k.π

n = 6k { onde k E IZ e n E IN* }

O menor valor possível para n é quando k = 1. Então:

n = 6*1 ==> n = 6

Uma colaboração do Marcelo.
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Menor valor de n. Empty Re: Menor valor de n.

Mensagem por Cam™ Qua 19 Ago 2009, 23:33

Olá Paulo,

Consegui entender como se faz agora, muito obrigada pela ajuda!
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Menor valor de n. Empty Re: Menor valor de n.

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