(USAMO) Áreas

por medock Ter 28 Out 2014, 01:25

Um trapézio possui diagonais perpendiculares e altura igual a 4. Ache a área do trapézio, sabendo que uma das diagonais mede 5.

Spoiler:

por **Carlos Adir** Ter 28 Out 2014, 09:45

Seja o trapézio ABCD:
(USAMO) Áreas HaDVHXS

Se traçarmos uma perpendicular ao eixo X passando por D, encontramos o ponto E. Do mesmo modo, passando por C, achamos F.
Deste modo, a distância CD equivale a EF
Adotando A=(0,0).
Sabemos então que se a distância AD equivale a 5, a distância ED vale 4. Então aplicando o teorema de pitágoras, AE equivale a 3.
Assim, D=(3, 4)
Seja o valor de m a distância CD, então:
B=(6+m, 0); C=(3+m, 4)

Seja a reta r a reta ligante A a C. E a reta s a reta ligando B a D. Então pelas condiçoes do problemas, r⊥s.
$\\ \begin{cases}r: y=\dfrac{4x}{3+m}\\ \\s: y=\dfrac{-4x}{3+m}+b \end{cases}$

Não nos interessa o valor de b. Interessa apenas que as retas sejam perpendiculares entre si. Portanto:
$\dfrac{4}{3+m} \cdot \dfrac{-4}{3+m}=-1$
$\\16 = (3+m)^2 \\ 3+m=4 \rightarrow m=1$
Ou seja, a distância entre os pontos CD e EF equivale a 1.
Portanto, a área do trapézio:
$\\Area = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}\\ \dfrac{(7 + 1) \cdot 4 }{2}=16$

Podemos achar o valor da área em função da altura, e o comprimento da diagonal:
Seja h a altura, e d o comprimento da diagonal:
$A=(0,0); B=(2\sqrt{d^2-h^2}+m); C=(\sqrt{d^2-h^2}+m, h); D=(\sqrt{d^2-h^2}, h)$

$\begin{cases}r: \ y=\left(\dfrac{h}{\sqrt{d^2-h^2}+m}\right)x \\ \\ s: \ y=\left(\dfrac{-h}{\sqrt{d^2-h^2}+m} \right )x+b\end{cases}$

$\\\left(\dfrac{h}{\sqrt{d^2-h^2}+m}\right) \cdot \left(\dfrac{-h}{\sqrt{d^2-h^2}+m} \right )=-1\\h^2=\left(\sqrt{d^2-h^2}+m \right )^2 \rightarrow m=h-\sqrt{d^2-h^2}$

Area:
$\dfrac{\left(2 \sqrt{d^2-h^2}+ 2(h-\sqrt{d^2-h^2}) \right ) \cdot h}{2}=h^2$

Portanto, a área de um trapézio quando suas diagonais são perpendiculares entre si, equivale a h²

por **raimundo pereira** Qui 30 Out 2014, 14:41

por medock Seg 03 Nov 2014, 23:16

obrigado a todos! Mas raimundo pereira, eu poderia afirmar que o trapézio é retângulo?

por **raimundo pereira** Ter 04 Nov 2014, 09:55

Sim. Se as diagonais são perpendiculares, o cruzamentos dessas diagonais obrigatóriamente formam 4 triâng. retângulos. Se o trapézio é um quadrilátero que tem as bases paralelas, temos:
A junção de 2 triâng. retâng.(DBE eADE), com bases na mesma reta suporte, e mesma altura formam um outro triâng. retâng.
Mesmo raciocínio é válido para os triâng. ADE e ACE , e como isso definimos os 2 âng. retos.

Deve ter um modo mais clássico de demonstrar isso , mas, no momento não me ocorre.

por **Elcioschin** Ter 04 Nov 2014, 12:16

medock

O enunciado não fala nada sobre qual é o tipo do trapézio. Isto significa que a solução vale para qualquer trapézio que tenha uma diagonal 5 e altura 4.

Para facilitar os cálculos Raimundo escolheu um trapézio retângulo e chegou na solução certa

O mesmo fez o Carlos Adir, escolhendo um trapézio isósceles. Ele só não chegou na solução certa porque considerou AD = 5, quando o correto é AC = 5