Equação de Grau Superior VIII

por L.Lawliet Qui 17 Jul 2014, 12:00

Se {m;n;p} são raizes da equação cubica { x³-2x²+4x-2=0 }. Calcule M

$M=\left [ \frac{m^{\frac{3}{2}}}{m-1}+\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n-1}+\frac{p^{\frac{3}{2}}}{p-1} \right ]^2$

A resposta é (18)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Eu tentei fazer da seguinte forma:

m+n+p=m.n.p=2
mn+np+mp=4

Daí desenvolvi M da seguinte forma:

$M=\left [ \frac{(mnp)(\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{p})-(n+p)m\sqrt{m}-(m+p)(n\sqrt{n})-(m+n)(p\sqrt{p})+m\sqrt{m}+p\sqrt{p}+n\sqrt{n}}{(mnp)-(np+mp+mn)+(m+n+p)-1} \right ]^2$

Mas não consigo desenvolver mais nada de interessante, alguem tem alguma ideia?

por Luck Qui 17 Jul 2014, 17:16

Como m,n e p são raízes:
m³ = 2m² -4m + 2 ∴ m³ = 2(m-1)² , analogamente:
n³ = 2(n-1)² ; p³ = 2(p-1)²

M = [ ((√m³)/(m-1)) + ((√n³)/(n-1)) + ((√p³)/(p-1)) ]²
M = [ (√[2(m-1)²])/(m-1) + (√[2(n-1)²])/(n-1) + (√[2(p-1)²])/(p-1) ]²
M = [√2 + √2 + √2]²
M = (3√2)²
M = 18

por L.Lawliet Qui 17 Jul 2014, 21:25

Valeu!!

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