Questão de Semelhança de Triângulos

por Victoria Lima Ter 01 Jul 2014, 14:57

(Unicamp 1988) Sejam L e D o comprimento e a largura, respectivamente, de um retângulo que possui a seguinte propriedade: eliminando-se desse retângulo um quadrado de lado igual à largura D, resulta um novo retângulo semelhante ao primeiro. Demonstre que a razão D/L é o número δ= (√5-1)/2, chamado "razão áurea".

por **Medeiros** Ter 01 Jul 2014, 16:10

desenhe o retângulo DxL. Sobre ele, marque o quadrado de lado D. Sobra, no retângulo original, um novo retângulo (L-D)xD. Como, foi dito, são retângulos semelhantes, vale a relação entre os lados homólogos:

D/L = (L-D)/D
D² = L² - LD
D² + LD - L² = 0 ............... é uma f(D)
discriminante = L² + 4L² = 5L²
D = (-L ± L√5)/2
mas D>0
--> D = L(√5 - 1)/2 -----> D/L = (√5 - 1)/2 .......... q.e.d.