plano tangente

por **mauk03** Sex 30 maio 2014, 20:09

Encontre a equação geral do plano que é tangente a superfície do gráfico de f(x,y)=4x²-y² em um ponto contido no plano xy, paralelo à reta r:{x=t-1; y=3-2t; z=4t
e divide a esfera S:x²+y²+z²-2x+4y-6z+8=0 ao meio.

por Man Utd Dom 01 Jun 2014, 17:18

Olá

Minha tentativa :

O vetor normal ao plano no ponto de intercessão : $P(x_{0},y_{0},0)$ pois o ponto está no plano xy, é dado pelo gradiente da função $f(x,y)=4x^2-y^2$ no ponto de intercessão , então : $\nabla f=\left( 8x_{0},-2y_{0},-1 \right )$ .

Como a reta e o plano são paralelos devemos ter o vetor normal do plano ortogonal ao vetor diretor da reta que é $\vec{d_{r}}=(1,-2,4)$ , isto é :

$\\\\ (8x_{0},-2y_{0},-1)\cdot (1,-2,4)=0 \\\\ 2x_{0}+y_{0}=1 \; \;\;\;\; (I)$

como o plano divide a esfera no meio quer dizer que o plano passa pelo centro da esfera que é : $\\\\ (1,-2,3)$

aplicando este ponto na equação do plano tangente a superficie obtemos :

$\\\\ 8x_{0}(1-x_{0})-2y_{0}(-2-y_{0})-(3-0)=0 \\\\ 8x_{0}-8x^{2}_{0}+4y_{0}+2y^{2}_{0}-3=0 \;\;\; (II)$

de (I) e (II) obtemos : $\\\\ x_{0}=\frac{3}{8} \;\;\;\; \wedge \;\;\;\; y_{0}=\frac{1}{4}$ , então o vetor normal é : $\\\\ \nabla f=\left( 3,-\frac{1}{2},-1 \right )$ e a equação do plano tangente é :

$\\\\ \boxed{\boxed{\boxed{3\left(x-\frac{3}{8}\right)-\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{4}\right)-z=0}}}$

Por favor verifique minhas contas e o gabarito.

por **mauk03** Ter 03 Jun 2014, 04:05

Perfeito Man Utd, vlw cheers

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