trigonometria 4

por **Fafa** Ter 08 Jun 2010, 22:32

Se os lados de um triângulo ABC medem a, b e c, onde A, B e C são os ângulos dos vértices do triângulo e a, b e c os lados opostos aos vértices A , B e C respectivamente. Prove: trigonometria 4 Trigonometria2001

por **adriano tavares** Seg 14 Jun 2010, 21:03

Olá, Fafa.

trigonometria 4 Tringuloabc3

Utilizando a lei dos senos temos:

$\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$

Utilizando as propriedades das proporções temos:

$\frac{a+b}{senA+senB}=\frac{a-b}{senA-senB}\Rightarrow \frac{a+b}{a-b}=\frac{senA+senB}{senA-senB}$

Transformando o (senA+senB) e (senA-senB) em um produto teremos:

$senA+senB=2sen\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$

$senA-senB=2cos\frac{A+B}{2}sen\frac{A-B}{2}$

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{2sen\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}2}{2cos\frac{A+B}{2}.sen\frac{A-B}{2}}$

$\frac{a+b}{a-b}=tg\frac{1}{2}(A+B).cotg\frac{A-B}{2}$

Como a cotangente é o inverso da tangente teremos:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{tg\frac{1}{2}(A+B)}{tg\frac{1}{2}(A-B)}$

por **Fafa** Seg 14 Jun 2010, 21:48

Obrigada Adriano.

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