Demonstrar bissetriz de um triângulo

por Danilevicz Seg 03 Fev 2014, 19:45

184. Demonstre que, em um triângulo retângulo, a reta determinada pelo vértice do ângulo reto e o centro do quadrado construído sobre a hipotenusa, externamente ao triângulo, é a bissetriz do ângulo reto.

Por pedir demonstração não possui gabarito.

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 184.

por Danilevicz Seg 03 Fev 2014, 19:55

Danilevicz escreveu:184. Demonstre que, em um triângulo retângulo, a reta determinada pelo vértice do ângulo reto e o centro do quadrado construído sobre a hipotenusa, externamente ao triângulo, é a bissetriz do ângulo reto.

Por pedir demonstração não possui gabarito.

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 184.

Tentei resolver da seguinte forma: Chamei as retas que contém os catetos de r e s. Fiz a relação Mr*Ms = -1 -> Mr = -1/Ms.
Supondo que a reta realmente seja uma bissetriz, escrevi:

t^s = t^r
Tg(t^s) = Tg(t^r)
a partir daí desenvolvi pela equação de ângulos entre retas, no final da equação cheguei a |(Ms - Mt)/(1 + MsMt)| = |(-1 - msmt)/(ms - mt)|
Tentei tira-los do módulo elevando ao quadrado, notei que o numerador do lado direito da igualdade se tornaria igual ao do lado esquerdo, mas a partir daí não cheguei mais a conclusão alguma.

por **Medeiros** Qua 05 Fev 2014, 00:23

Danielevicz,
este exercício é muito bonito mas não vou tentar fazer porque, realmente, estou sem tempo.

Contudo, em adição, você também pode provar que se o tal quadrado for construído para o outro lado da hipotenusa -- ou seja, de forma a que o triângulo fique dentro do quadrado -- a reta determinada pelo vértice do ângulo reto e o centro do quadrado é bissetriz externa do ângulo reto.

por **Medeiros** Qua 05 Fev 2014, 12:58

Danielevicz, não sei como vc fez antes mas deixo uma dica.

Seja o ∆ABC retângulo em A e seja, para facilitar as contas, 2a o valor da hipotenusa.
Faça um esboço para acompanhar.

Sobre o par de eixos x0y desenhe um circunferência de raio a e centro na origem; coloque o ponto A no 1º quadrante, mais ou menos em 45º. Temos as coordenadas:
A(a.sen(u), a.cos(u)) .................... com 0 < u < pi
B(-a, 0)
C(a, 0)
P(0, -a) = centro do quadrado.

AB = reta r -----> mr = sen(u)/(cos(u)+1)
AC = reta s -----> ms = sen(u)/(cos(u)-1)
AP = reta t -----> mt = (sen(u)+1)/cos(u)

Agora é contigo.