Sistema de Equações

por Carlos Lima Lima Dom 19 Jan 2014, 09:09

para que o sistema ax+by=1
a2x+b2y=1(a ao quadrado e b ao quadrado)
nas variáveis x e y possua uma única solução onde a e b são números reais fixos, ambos diferente de zero, é suficiente que:a) b seja positivo; b) a seja positivo; c) a e b sejam ambos positivos; d) a=b; e) a diferente de b

ATT: essa questão foi do vestibular da UPE(universidade de Pernambuco), diante de uma questão dessa em uma prova de vestibular que não temos tanto tempo pra resolver, como que faço?

por **Elcioschin** Dom 19 Jan 2014, 09:49

O problema não é o tempo: o problema é saber a teoria!!!

Ambas as funções são do 1º grau, logo seus gráficos são retas;

ax + by = 1 ----> y = - (a/b).x + 1/b ---> coeficiente angular: m = - a/b

a²x + b²y = 1 ---> y = - (a/b)².x + 1/b² ---> coeficiente angular: m' = - (a/b)²

Para o sistema ter apenas UMA solução as retas NÃO podem ser paralelas nem coincidentes:

m' ≠ m ---> - (a/b)² ≠ - a/b ----> a/b ≠ 1 ----> a ≠ b ---> alternativa E

Outra solução, por Cramer:

a .... b
a² ... b² ---> ∆ = a.b² - b.a² ----> ∆ = a.b.(b - a)

1 .... b
1 .... b² ----> ∆x = b² - b ----> ∆x = b.(b - 1)

a .... 1
a² ... 1 ----> ∆y = a - a² ----> ∆y = a.(1 - a)

x = ∆x/∆ ----> x = b.(b - 1)/a.b.(b - a) ----> x = (b - 1)/a.(b - a)

y = ∆y/∆ ----> y = a.(1 - a)/a.b.(b - a) ----> y = (1 - a)/b.(b - a)

Para x, y existirem o denominador não pode ser nulo ----> b - a ≠ 0 ----> a ≠ b

3ª solução

ax + by = 1 ----> y = - (a/b).x + 1/b

a²x + b²y = 1 ---> a²x + b².[(-a/b).x + 1/b] = 1 ---> a²x - abx + b = 1 ---> a.(a - b).x = 1 - b ---> x = (1 - b)/a.(a - b)

Idem acima ----> a ≠ b