Triângulo

Três triângulos  isósceles semelhantes têm como bases os 
lados de um triângulo retângulo.
Se as áreas dos dois triângulos isósceles menores medem 9 cm2
e 12 cm2
, então a área do triângulo isóscele maior é
a) 20 cm2
b) 25 cm2
c) 21 cm2
d) 15 cm2
e) 16 cm2
resposta: c

Sejam α o ângulo entre os lados iguais  e a, b, c as bases do maior médio e menor
Sejam h3, h2, h1 as alturas do maior, médio e menor
Sejam L3, L2 e L1 os lados iguais do maior médio e menor
Sejam S3, S2, S1 as áreas do maior, médio e menor 


c = 2,L1.sen(α/2) ----> L1 = c/2.sen(α/2)
h1 = L1.cos(α/2)
S1 = c.h1/2 ---> S1 = c.L1.cos(α/2)/2 ----> S1 = c.[c/2.sen(α/2)].cos(α/2)/2 ---> 9 = c².cotg²(α/2)/4 ---> c² = 9.[4/cotg(α/2)]


De modo similar encontra-se b² = 12.[4/cotg(α/2)] e a² = S3.[4/cotg(α/2)] 


a² = b² +  c² ----> S3.[4/cotg(α/2)] = 12.[4/cotg²(α/2)] + 9.[4/cotg²(α/2)] ---> S3 = 12 + 9 ---> S3 = 21 cm² 

outro modo:

Sejam a, b e c os lados do triângulo retângulo; serão também as bases dos triângulos isósceles.





Em figuras semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão entre os lados homólogos.

Obrigada a todos
 medeiros que simples a sua resolução obrigada!

Luíza,
Particularmente gosto de raciocínios que inovem a visão do problema e simplifiquem ao máximo os cálculos. Seu raciocínio faz isso mas infelizmente não adere ao enunciado.

Há as seguintes incongruências na sua resolução:
a) o enunciado impõe que o triângulo retângulo (ABC) tenha lados de medidas diferentes -- pois esta é a única forma que triângulos semelhantes construídos sobre os catetos tenham áreas diferentes, 9cm² e 12cm² --, na sua solução ABD e ACD têm áreas iguais;

b) o triângulo isósceles construído sobre a hipotenusa é o próprio triângulo retângulo ABC -- e o enunciado não autoriza a pensarmos que tal triângulo isósceles seja também retângulo.

O enunciado nos cobra uma situação genérica e a sua solução considera um caso bem particular. Em todo o caso, valeu a malandragem para chegar rapidamente numa resposta certa.