A Estrela de Agnesi

Considere a função

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Determine a área no plano cartesiano dada entre .

Definições:

A função f(x) = 1/(1 + x²):

a) É simétrica em relação ao eixo Y
b) Tem gráfico passando por (0, 1), (1, 1/2),  (2, 1/5) e é assintótica em relação ao eixo x

Área entre f(x) e o eixo x desde x = -∞até x = +∞

S =  ∫[1/(1 + x²)]dx ----> S = arctgx nos limites indicados

A área entre f(x) e - f(x) vale 2S

Inversa

y = 1/(1 + x²) ----> x = 1/(1 + y²) ----> 1 + y² = 1/x ----> y² = (1 - x)/x ----> y =  √[(1 - x)/x]

O gráfico de f-¹(x) existe somente no intervalo ]0, 1], no 1º quadrante e o gráfico de - f-¹(x) no 4º quadrante

Os dois gráficos juntos de f-¹(x) e - f-¹(x) resultam numa rotação de 90º no sentido horário de f(x)

Tente completar

Muito obrigado, Mestre, porém gostaria de solicitar a você ou a outro amigo de fórum que prossiga com a resolução, já que [eu] não possuo conhecimentos em Cálculo.

Mil perdões.

Dela Corte

Eu cometi um pequeno engano: pensei que f-¹(x) fosse a função inversa de f(x).

Depois é que eu ví a definição ---->  f-¹(x ) = 1/(1 + y²) 

f-¹(x ) = 1/[1 + 1/(1 + 1/x²)²] = (x^4 + 2.x^2 + 1)/(x^4 + 2.x^2 + 2)

DE qualquer  modo, desenhei os gráficos de f(x), - f(x) (em verde) e f-¹(x)e - f-¹(x) (em vermelho)

Seria necessário calcular os dois pontos de contato entre os dois gráficos, igualando as funções. Depois basta integrar as 4 funções entre estes limites de integração. É um cálculo trabalhoso

A área procurada é a área entre os gráficos. Sem conhecer cálculo integral ficaria muito difícil entender a solução







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