Teorema de Rolle

A função g(x)= x^3 - 2x^2 + 4 definida no intervalo [0,2].

 Verifique que as hipóteses do teorema de rolle sao satisfeitas e determine um ponto do gráfico de f cuja reta tangente é paralela ao eixo x da abscissas.

A g é, claramente, uma função derivável em (0,2) e definida em [0,2] pois é polinomial. Além disso, f(0) = f(2) = 4. Portanto, pelo Teorema de Rolle, existe um a pertencente ao intervalo (0,2) tal que f'(a) = 0, isto é, a reta tangente que passa pelo ponto de abcissa a é paralela ao eixo Ox.

Note que   e que, assim, a g é decrescente no intervalo  e crescente em .

Assim, 4/3 é o candidato no intervalo (0,2) à abcissa cuja reta tangente tem coeficiente angular 0. Como a g é polinomial, sabemos que (4/3, g(4/3)) será ponto de máximo local e, assim, com derivada nula.

Obrigado linda do sorriso escondido :tiv: