Fatoração

Sejam x e y inteiros positivos e 3x²+x=4y²+y. Prove que x-y é um quadrado perfeito.

3x²+x=4y²+y -> x-y=(2y)²-3x²

Então (2y)²-3x² deve ser um quadrado perfeito. Sabendo disso é incoerente dizer que para qualquer x e y a igualdade será válida!

kakaroto escreveu:3x²+x=4y²+y -> x-y=(2y)²-3x²

Então (2y)²-3x² deve ser um quadrado perfeito. Sabendo disso é incoerente dizer que para qualquer x e y a igualdade será válida!

Você considerou qualquer x e y INTEIRO POSITIVO?
Encontrei essa questão em uma lista com questões de olimpíadas, inclusive essa é uma.

Considerei sim. Sabemos que x-y deve ser positivo, pois não existe um quadrado perfeito negativo, então x>y, só que nem todo par x;y dá um resultado positivo. Dê uma olhada no teorema de bezout, acho que pode te ajudar!

kakaroto escreveu:Considerei sim. Sabemos que x-y deve ser positivo, pois não existe um quadrado perfeito negativo, então x>y, só que nem todo par x;y dá um resultado positivo. Dê uma olhada no teorema de bezout, acho que pode te ajudar!

Também estranhei o fato de não terem incluído no enunciado que x>y. Porém x e y não são apenas inteiros positivos quaisquer, como também devem satisfazer a equação 3x²+x=4y²+y, fato que vc parece não está considerando.
Como já havia demonstrado acima (x - y)(4x + 4y + 1) e (x - y)(3x + 3y + 1) são quadrados de inteiros, e como x e y são inteiros positivos (4x + 4y + 1) e (3x + 3y + 1) são maiores que zero, e portanto (x - y) também é maior que zero.

Pelo enunciado eu não vejo nenhuma restrição para os valores de x e y, a não ser que eles sejam inteiros. Essa equação 3x²+x=4y²+y é a mesma que essa x-y=(2y)²-3x² só fiz uma manipulação, a manipulação que vc fez na minha opinião deixou mais difícil entender a questão. mauk03 confesso que não sei resolvê-la, porém vi uma questão parecida com essa que perguntava quantas soluções a equação poderia ter com duas variáveis com expoentes e um cara resolveu pelo teorema de bezout. Por esse teorema a sua equação só teria um valor para cada variável provando assim a propriedade do número 26.

kakaroto, vlw por tentar ajudar pelo menos.

De nada, mande uma mp para o Euclides ou para o Elcioshin talvez eles saibam!

Se tivesse continuado com essa fatoração que vocês usaram, teriam resolvido a questão.

Abaixo eu vou resolver usando a fatoração que encontraram e depois a minha resolução que mandei recentemente para outro fórum.

Resolução 1:

Suponha que x < y, então:

4y² - 3x² = x - y

O lado esquerdo é positivo e o lado direito é negativo, portanto absurdo!

Considere x = y

4y² - 3y² = x - y = 0

y² = 0 Ok !

Vamos verificar agora para o caso em que x > y

x² = (x - y)(4x + 4y + 1)
y² = (x - y)(3x + 3y + 1)

Logo

(xy)² = (x - y)²(3x + 4y + 1)(3x + 3y + 1)

Considere d sendo mdc entre 4x + 4y + 1 e 3x + 3y + 1

Então:

d | 4 . (3x + 3y + 1) = 12x + 12y + 4
d | 3 . (4x + 4y + 1) = 12x + 12y + 3

d | 12x + 12y + 4 - (12x + 12y + 3) = 1

Logo, mdc entre 4(x + y) + 1 e 3(x + y) + 1 é igual a 1.

Mas note que:

[(xy)/(x - y)]² = (4x + 4y + 1)(3x + 3y + 1)

O produto do lado direito é um quadrado perfeito, mas eles são primos entre si, portanto, tanto 4x + 4y + 1 quanto 3x + 3y + 1, devem ser um quadrado perfeito.

4x + 4y + 1 = a²

x² = (x - y) . a²

Daqui temos que (x - y) . a² é um quadrado perfeito, logo (x - y) também é um quadrado perfeito, concluindo o que queriamos provar.


Segunda resolução:

Suponha que x < y

4y² - 3x² = x - y

O lado esquerdo é positivo mais o lado direito é negativo, portanto absurdo!

Se x = y, temos

x² = 0, ok !

Verificando agora os casos em que x > y

Fazendo x - y = k, temos

x = y + k

4y² - 3x² = x - y

4y² - 3(y + k)² = k

4y² - 3y² - 6ky - 3k² = k

y² - 6ky - 3k² = k

mdc(k, y) = d

y = y'd e k = k'd

mdc(k, y) = mdc(k'd, y'd) = d . mdc(k', d') = d

Logo, mdc(k', y') = 1

y'²d² - 6y'k'd² - 3k'²d² = k'd

Como d >= 1, podemos dividir tudo por d

y'²d - 6y'k'd - 3k'²d = k'

d . (y'² - 6y'k' - 3k'²) = k'

d | k'

k' = k"d

y'²d - 6y'k"d² - 3k"²d³ = dk"

Divida tudo por d

y'² - 6y'k"d - 3k"²d² = k"

y'² = k" . (1 + 6y'd + 3k"d²)

Logo k" | y'²

Mas, mdc(k', y') = 1 -> mdc(dk", y') = 1

Então k" só pode ser 1

k' = k"d = 1 . d = d

k = k'd = d . d = d²

Portanto, k = x - y é um quadrado perfeito como queriamos provar"