Fatoração

Escrevendo como um produto de quatro fatores, a soma desses quatro fatores é igual a:

a)
b)
c)
d)
e)

Spoiler:

y = x^8 + x^4 + 1 ----> y = (x^4)² + x^4 + 1

Raízes da função:


a) x^4 = [-1 + \/(-3)]/2 ----> x^4 = (-1 + i\/3)/2 ----> (x²)² = - 1/2 + i*\/3/2 ----> (x²)² = cos120º + i*sen120º

x² = (cos120º + i*sen120º)^(1/2) ----> x² = cos[120º + k360º]/2 + i*sen[120º + k360º]/2

Para k = 0 ----> x² = sen60º + i*sen60º ----> x² = 1/2 + i*(\/3/2)

Para k = 1 ----> x² = sen240º + i*sen240º ----> x² = - 1/2 - i*(\/3/2)


b) x^4 = [-1 - \/(-3)]/2 ----> x^4 = (-1 - i\/3)/2 ----> (x²)² = - 1/2 - i*\/3/2 ----> (x²)² = cos240º + i*sen240º

x² = (cos240º + i*sen240º)^(1/2) ----> x² = cos[240º + k360º]/2 + i*sen[240º + k360º]/2

Para k = 0 ----> x² = sen120º + i*sen120º ----> x² = - 1/2 + i*(\/3/2)

Para k = 1 ----> x² = sen300º + i*sen300º ----> x² = 1/2 - i*(\/3/2)

Fatores

x² - [+ 1/2 + i*(\/3/2)]
x² - [- 1/2 - i*(\/3/2)]
x² - [- 1/2 + i*(\/3/2)]
x² - [+ 1/2 - i*(\/3/2)]
___________________
4x²


Multiplicando os dois primeios fatores ----> x^4 + 1/2 - i*(\/3/2)
Multiplicando os dois últimos fatores -----> x^4 + 1/2 + i*(\/3/2)

Multiplicando, finalmente os dois últimos resultados ---> x^8 + x4 + 1

Cheguei na alternativa D
Acho que o seu gabarito está errado