Relações métricas no triângulo retângulo

Um trapézio retângulo, de bases 10 e 15, está circunscrito a um círculo. Determine o raio desse círculo.

Olá Gabriel

h é dada pela média harmônica das bases h=2.B.b/(B+b)-->2.10.15/(10+15)=12

Tenho a demonstração do cálculo de h em função das bases notrapézio isósceles crircunscrito a um círculo onde h=VB.b , mas do trapezio retângulo peguei a fórmula na apostilha do meu filho e não tenho a demonstração.

Gabriel , Porque o título está relações métricas no triângulo retângulo?

Um trapézio retângulo, de bases 10 e 15, está circunscrito a um círculo. Determine o raio desse círculo.

Boa tarde, Gabriel.

Desenhe o trapézio retângulo (ABCD), identificando os vértices a partir do canto inferior esquerdo e seguindo o sentido horário.

Marque M no ponto médio de AB, ficando:
BM = MA = r = raio do círculo circunscrito.

Marque BN sobre BC, fazendo BN = BM = r.

Marque Q sobre AD, ficando:
AQ = AM = BM = BN = r.

Marque NC sobre BC = b.
Marque CP sobre CD = b.

Marque PD sobre CD = c.
Marque QD sobre AD = c.

Baixe uma perpendicular a partir do vértice C até encontrar a base AD num ponto que designaremos pela letra R.

Temos, então, no triângulo retângulo CRD:
CR = BA = 2r
RD = AD - AR = AD - BC = 15 - 10 = 5
(CD)² = (2r)² + 5² = 4r² + 25
(b+c)² = 4r² + 25 ................... (I)

Notando que:
b = 10-r
c = 15-r
b+c = 25 - 2r  → que substituiremos em (I):


(b+c)² = 4r² + 25

(25-2r)² = 4r² + 25
625 - 100r + 4r² = 4r² + 25
625 - 100r - 25 = 0
100r = 625 - 25 = 600
r = 600/100
r = 6 cm





Um abraço.

Olá Gabriel ,
Estava com pressa e me equivoquei na resposta , o problema pede o raio, e não a altura do trapézio.
Observe que nos trapézios circunscritos, isósceles e retângulo o diâmetro do círculo inscrito é igual a altura.
Agora vc fica com a resolução clássica do amigo Ivomilton e esse atalho que mostrei.

att

Olá, amigo Raimundo.

Interessante essa fórmula da média harmônica das bases, pela qual se pode calcular a altura do trapézio, gostei!
Mais uma vez, muito agradecido pela ilustração apresentada.



Um abraço.

:bball:

Ivomilton

Excelente resolução! Eu até havia chegado no triângulo retângulo mencionado, mas não percebi a potência dos pontos (vértices do quadrilátero) em relação ao círculo inscrito, o que possibilitaria usar os valores dados no enunciado em um dos lados desse triângulo (me perdia quando chegava em CD). 

Raimundo

Obrigado pela resolução! Já tinha ouvido falar sobre média harmônica, mas não tinha visto alguma expressão sobre. Até pesquisei aqui e achei bem interessante. Essa expressão do trapézio foi deduzida por você mesmo? (quando você tiver algum tempo, poste a demonstração aqui. Seria muito útil, não só para mim, mas para os colegas que não a conhecem).

Gratos aos dois! 

Olá, caro amigo Raimundo.

Parabéns por mais um ano de vida que o Senhor está-lhe concedendo nesta data!
Muitas felicidades e que o Senhor te abençoe e te guarde!



Forte abraço!

Caro Ivomilton,
Já agradeci ao bom Deus por mais mum ano de vida com saude e feliz. Fico muito grato pelos seus votos . Desejo a vc também muita saude e paz. Um abraço