Dúvida Conceitual (Limite Fundamental)

Porque esse limite é igual a esse:?

Bom, o primeiro não é, de fato, o limite fundamental se considerarmos que x é um numero real. Se não me engano, o limite fundamental é para x natural.
Enfim, pelo que entendi você sabe o primeiro.

Vou demonstrar por que o segundo é verdade:

Bom, o primeiro não é, de fato, o limite fundamental se considerarmos que x é um numero real. Se não me engano, o limite fundamental é para x natural.

Não entendi essa passagem.

Assim fica fácil de ver, na minha opinião:
seja 1/x=u
para x->+∞ ou x->-∞ --> u->0
logo, fica
lim[x->0](1+u)^(1/u)=e=lim[x->+∞](1+1/x)^x=lim[x->-∞](1+1/x)^x

Espero que ajude, também.

hygorvv, mas como demonstramos que lim_(u->0) (1+u)^1/u = e? Pelo que me lembro, quando desenvolvemos lim_(u->0) (1 + u)^1/u, utilizamos lim_(x-> -inf) (1 + 1/x) ^ x.

Para u tendendo a zero, o limite seria do "tipo 1 elevado a um numero que não existe". Temos que fazer os limites laterais (para u-> 0 + e 0-) e utilizar os limites que o Man Utd colocou acima.

Não tenho certeza, mas parece que você usou um limite (1+u)^1/u que precisa de lim_(x-> -inf) (1 + 1/x) ^ x. para ser provado. De qualquer maneira, acredito que ainda precise provar lim_(x-> -inf) (1 + 1/x) ^ x = e. Se houver outra demonstração do lim_u->0 (1+u) ^1/u = e que não use lim_(x-> -inf) (1 + 1/x) ^ x, poderia mostrá-la?

A parte que eu disse la em cima tem a ver com o título do tópico, na verdade. Por que se x for real, aquele limite não é, de fato, o fundamental, mas sim é feito a partir dele.

Na verdade eu acho que é possível provar que lim[u->0](1+u)^(1/u)=e sem utilizar o outro limite.

Esses limites que coloquei:
lim[u->0](1+u)^(1/u)=e
lim[x->+∞](1+1/x)^x=e
lim[x->-∞](1+1/x)^x=e

São iguais, como todos nós percebemos. O que fiz foi uma mudança de variável.

Mas para demonstrar isso, devemos conhecer séries entre outras coisas. Acho que foge do propósito da dúvida. Mas é bem fácil de se encontrar na net e em livros de calc 2 ou 3, se não me engano.

O interessante seria plotar os dois gráficos e analisar a convergência para o número e das duas funções. Uma quando x->0 e outra quando x-> ∞

Entendi, hygorvv. Eu entendi perfeitamente a mudança de variável, e é muito mais fácil provar desse jeito.

Mas, como só conheço a demonstração daquele limite usando o para x-> -inf, não poderia usá-la. Seria como eu provar uma coisa assumindo que ela é verdade. Ora, se é verdade, não haveria nada o que provar, certo?

Obrigada

Giiovanna,

o seu rigor matemático está ficando uma lindeza! Achei sua demonstração excelente. Parte do princípio que o limite dado é verdadeiro e mostra que é igual ao segundo.

Gostaria mesmo que o nosso pessoal pudesse contar com você por muito tempo.

Obrigada, Euclides! Falando assim eu até fico sem graça Claro que não fiz uma demonstração totalmente correta ou completa, mas acho que esse também não é o objetivo nesse momento.

Felizmente descobri que gosto muito de cálculo e então tenho me dedicado bastante a ele e, claro, todas as outras matérias do primeiro semestre, que também mostram outras ferramentas matemáticas incríveis.

Obrigada pelos elogios e espero que eu consiga continuar ajudando as pessoas aqui também por muito tempo. Afinal, como eu já disse, sou grata ao fórum pela atenção que recebi de muitas pessoas por muito tempo e acho que vale a pena retribuir a gentileza.