Vetores - determine lambda

por Thvilaça Qui 03 Jan 2013, 22:33

No trapézio ABCD abaixo, BC = v, AD = 2v e E é o ponto de interseção das diagonais AC e BD. Sendo BE = λ BD, determine λ.

[img] Vetores - determine lambda Trapziovetorquesto22

Vetores - determine lambda Trapziovetorquesto22

[/img]

Resposta: λ = 1/3

Obs.: No enunciado, vetores estão representados por negrito (em letra maiuscula, como BC), ou itálico (representação em letra minúscula, como v)

por rihan Sex 04 Jan 2013, 02:03

Thvilaça escreveu:No trapézio ABCD abaixo, BC = v, AD = 2v e E é o ponto de interseção das diagonais AC e BD. Sendo BE = λ BD, determine λ.

Resposta: λ = 1/3

Obs.: No enunciado, vetores estão representados por negrito (em letra maiuscula, como BC), ou itálico (representação em letra minúscula, como v)

W = {AB, BC, CD, DA, BE, ED, CE, EA}

n(W) = 8

1 ) AB + BC + CD + DA = 0

2 ) BC + CD + DE + EB = 0

3 ) BC + CE + EA + AB = 0

4 ) BE + ED + DA + AB = 0

5 ) CE + EA + AD + DC = 0

6 ) BC + CE + EB = 0

7 ) BE + EA + AB = 0

8 ) CE + ED + DC = 0

9 ) EA + AD + DE = 0

Tendo atenção, visão, tempo e paciência, resolvemos o sisteminha e achamos:

3 BE = BD

BE = (1/3)BD

λ = 1/3

Mas, se for concurso, a forma mais imediata é geométrica:

Vetores - determine lambda XDAgTHPv7+1NTU1NTU31tsW17Y2ODVTCB+Ri3gDDB0fXhEN0HsFkZzMd4BoQBABeAMADgAhAGAFwAwgCAC0AYAHABCAMALgBhAMAFIAwAuACEAQAXgDAA4AIQBgBcAMIAgAtAGABwAQgDAC4AYbxBkiRCSNijAHwHhPEGwzBEUQx7FIDvgDAA4AIQBgBcAMIAgAtAGABwAQgDAC4AYQDABSAMALgAhAEAF4AwAOACEAYAXADCAIALQBgAcAEIAwAuAGEAwAUgDAC4AIQBABf8FzqunD+6cQKOAAAAAElFTkSuQmCC

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Se AD = 2 BC --> BC // AD e |AD| = 2 |BC|

Prolongando AB e DC temos F e um triângulo AFD

Por Thales descobrimos que B e C são pontos médios de AF e DF, logo E é o encontro das medianas, o baricentro:

BE/ED = 1/2

BE = BD/3

λ = 1/3

por thalles.alencar Sex 04 Jan 2013, 04:49

Também há essa forma, por semelhança de triângulos:
os ângulos AÊD e BÊC são opostos pelo vértice, logo, são iguais.
como as semiretas BC e AD são paralelas, devido à figura ser um trapézio, e ainda termos duas tranversais, podemos usar o teorema de Tales: os ângulos B e D(nos triângulos EBC e EDA, respectivamente) são iguais. Então, como temos os triângulos BCE e DAE com dois ângulos congruentes, logo temos triângulos semelhantes:

Dando uma "girada" no triângulo BCE, pra melhor visualização:

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então temos
x/y=2v/v----> x=2y=ED

e daí, como BD=x + y: BE=λBD ---> y = λ(x + y) --> y = λ(2y + y) -- > y=λ3y ---> y/3y=λ

Então λ=1/3 ;D