Equação exponencial

por Igor Bragaia Qua 12 Dez 2012, 11:06

$\text{Resolva a equação exponencial}\\4^x-3^\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right =3^\left ( x+\frac{1}{2} \right )\right - 2^\left ( 2x-1 \right )$
Pessoal, preciso de uma ajuda aqui

por Igor Bragaia Qua 12 Dez 2012, 11:20

S={3/2}
Havia esquecido.

por **Elcioschin** Qua 12 Dez 2012, 15:13

4^x - 3^(x - 1/2) = 3^(x + 1/2) - 2^(2x - 1)

(2²)^x - (3^x)/(3^1/2) = (3^x)*3^(1/2) - (2^x)/2

2^2x + 2^x/2 = 3^x*[3^1/2 + 1/3^1/2]

(3/2)*2^2x =3^x*(4/3^1/2)

(2^2x)/8 = 3^x/3*(3^1/2)

(2^2x)/2^3 = 3^x/3^3/2

2^(2x - 3) = 3^(x - 3/2)

Solução ----> 2x - 3 = 0 ----> x = 3/2 e x - 3/2 = ----> x = 3/2

por Igor Bragaia Qua 12 Dez 2012, 17:15

Ah, muito obrigado Elcioschin. Eu estava chegando até 2^(2x - 3) = 3^(x - 3/2), mas não sabia como acabar. Então, quando chega-se a uma igualdade com duas bases diferentes, resolve-se o expoente de ambas, chegando assim a duas respostas, iguais ou diferentes? ou sempre iguais, como neste caso?
um abraço e muito obrigado

por **Elcioschin** Qua 12 Dez 2012, 17:48

Não é isto não.

Como as bases são diferentes a única solução para se verificar a igualdade é que ambos os expoentes sejam NULOs, já que 2^0 = 3^0

Assim, a solução, neste caso é única ---> x = 3/2

Vou mostrar um caso com solução dupla

2^(x² -3x + 2) = 3^(x² - 3x + 2) ----> x² - 3x + 2 = 0 ----> x = 1 e x = 2

por Igor Bragaia Qua 12 Dez 2012, 18:09

Elcioschin, e se neste ultimo exemplo que vc deu, os expoentes do 2 e do 3 fossem equaçoes de 2º grau diferentes? Aí igualaria as duas à 0 e resolvendo poderia chegar a até 4 valores possiveis de x?

por **Elcioschin** Qua 12 Dez 2012, 18:22

Se as raízes dos dois expoentes forem diferentes, o problema é impossível

Veja este caso

2^(x² - 3x + 2) = 3^(x² - 4x + 3)

x² - 3x + 2 = 0 ----> Raízes x = 1 e x = 2
x² - 4x + 3 = 0 ----> Raízes x = 1 e x = 3

Solução x = 1