Equação exponencial

por Igor Bragaia Qua 12 Dez 2012, 11:37

Pessoal, preciso de uma ajuda na resolução desta equação exponencial tirada do Fundamentos da Matemática elementar volume 2.
$3^\left ( x^2 + \frac{1}{x^2} \right ) \right = \frac{81}{3^\left ( x+\frac{1}{x} \right )} \right$

por **Matheus Vilaça** Qua 12 Dez 2012, 11:59

Ok, vamos lá:
$\large \\3^{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}. 3^{x+\frac{1}{x}}=3^{4}\\ \\3^{\frac{x^{4}+1+x^{3}+x}{x^{2}}}=3^{4}\\$

$\small x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1=0$

Como a soma de todos os coeficientes é igual a 0, 1 é uma das raízes. E se utilizarmos Briot-Ruffini veremos que 1 é dupla raíz. Assim, utilizando Briot-Ruffini:

[img] Equação exponencial Questo8

[/img]

Logo, teremos:
$\small (x^{2}+3x+1)(x-1)(x-1)=0$

Resolvendo a equação $\small x^{2}+3x+1=0$ , obteremos:

$\small x'=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\: \: \: \: \: \: \: \: x''=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

Logo os possíveis valores de x são:
$\small {\color{Red} x'=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\: \: \: \: \: \: \: \: x''=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\: \: \: \: \: \: \: \: x'''=1}$

Acho que é isso!!
Você tem o gabarito?

Desculpe pelo Briot-Ruffini mal feito (meio difícil de entender), mas é que eu não sei como fazer isso no Latex. E quando eu escrevo aqui, fica uma porcaria, pq tudo vai pro lado esquerdo, mesmo que eu tenha colocado em outro lugar!!!

por Igor Bragaia Qua 12 Dez 2012, 12:18

Está certíssimo Matheus (esqueci de postar o gabarito, desculpa). Eu havia chegado até a equação com x com expoentes 4, 3, 2 ,1, mas não sabia como proceder. Aliás, eu não conheço este Briot Ruffini, mas estou pegando conteúdo aqui na internet pra pegar o jeito. Muito obrigado!

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