Verifique as soluções...

Rearrumemos a equação proposta:



Façamos z = 2cos(θ), baseados no enunciado:



Usando as identidades cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x) e cos(2x) = 2cos²(x) - 1:



Uma fórmula de transformação soma-produto é 2cos(a)cos(b) = cos(a+b) + cos(a-b). Aplicando-a e reorganizando:



Lembremos um pouco de raízes da unidade. Considere a seguinte equação e suas soluções:



Das relações de Girard para soma das raízes:



Ocorre que z6 é conjugado de z5, z7 é conjugado de z4, ..., z10 é conjugado de z1. Como a soma de um complexo com seu conjugado é igual ao dobro da parte real, temos:



Veja que θ = 2pi/11 cumpre (*), isto é, θ = 2kpi/11 é solução para k = 1. Para k = 2, 3,..., 5, basta substituir o valor de θ e substrair 2pi dos argumentos até que apareçam os ângulos de k = 1. Isso é possível pois cos(x) = cos(2pi - x). Para k > 5, as soluções começam a se repetir.

Temos, pois, que θ = 2kpi/11, k = {1,2,...,5}, engloba todas as 5 soluções da equação.

CqD