CMRJ 2006

por YuriMarinho(: Ter 06 Nov 2012, 21:06

Entre os números inteiros 1 e 100, existem quantas frações irredutíveis cujo denominador é 15?
a)692
b)792
c)992
d)1562

por **Euclides** Qua 07 Nov 2012, 16:33

$\\1,........,100\;\;\;\;\;\;\;\to\;\;\;\;\;\frac{15}{15},........,\frac{1500}{15}$

para que as frações sejam irredutíveis os numeradores não devem ser múltiplos de 3, de 5, ou de 15.

dos números inteiros entre 15 e 1500 deveremos retirar todos os múltiplos de 3, todos os múltiplos de 5 e somar os múltiplos de 15 que foram subtraídos duas vezes entre os múltiplos comuns de 3 e 5.

$\\15\leq3k\leq1500\;\;\;\to\;\;\;5\leq k\leq500\;\;\;\to\;\;\;\exists \;\;496\;\text{números}\\\\15\leq5k\leq1500\;\;\;\to\;\;\;3\leq k\leq300\;\;\;\to\;\;\;\exists \;\;298\;\text{números}\\\\ 15\leq15k\leq1500\;\;\;\to\;\;\;1\leq k\leq100\;\;\;\to\;\;\;\exists \;\;100\;\text{números}\\\\ N=(1500-14)-496-298+100\\\\\boxed{N=792}$