Ponto de Minimo - Dúvidas

por engenhariaufrjmacae Qui 13 Set 2012, 18:02

Um cartaz deve conter 50cm² de matéria impressa, com duas margens de 4cm cada em cima e embaixo, e duas margens laterais de 2cm cada. Determine as dimensões externas do cartaz de modo que sua área total seja minima.

por Dinheirow Qui 13 Set 2012, 23:37

Sejam a e b as dimensões externas do cartaz
(a-8 )(b-4) = 50
fatorando-se 50, tem-se as três dimensões possíveis de matéria impressa;:
(1).(50)
(2).(25)
(5).(10)
5 por 10 induz o menor comprimento para a e b
a-8 = 5 => a =13
b-4 = 10 => b = 14
a menor area é de 13.14 = 182 cm² (errado)
*(Edit) minha resolução está errada ; desconsiderei um dos resultados possíveis:
a -8 = 10 => a = 18
b -4 = 5 => b = 9
A menor área é ab = 162cm² (certo)

por **Euclides** Sex 14 Set 2012, 00:09

Sendo a e b os lados da área impressa:

$ab=50\;\;\;\;\;\;\to\;\;\;b=\frac{50}{a}$

a área total do cartão será

$\\A=(a+8)(b+4)\\A=ab+4a+8b+32\\\\A=50+4a+\frac{400}{a}+32\;\;\;\to\;\;\;A=\frac{4a^2+82a+400}{a}$

$\\A'=4-\frac{400}{a^2}\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;A'=0\;\;\to\;\;a=\pm10\\\\A''=\frac{800}{a^3}\;\;\;\to\;\;\;A''(10)>0\;\to\;a=10\text{ é ponto de mínimo}\\\\A_{min}=162cm^2$

Ponto de Minimo - Dúvidas Minimo

por **Iago6** Sex 14 Set 2012, 01:33

Temos a seguinte situação:
Ponto de Minimo - Dúvidas Cartaz22

Que pode ser representada dessa forma:

$\\ \rightleftharpoons \underset{\mathfrak{Total}}{\mathbf{Área} } = \mathrm{x.y }\\\\\ \rightleftharpoons \underset{\mathfrak{Impressa}}{\mathbf{Área} } = \mathrm{(x-4)(y-8)}$

Queremos menor área externa em relação a área impressa, então podemos relacionar a total com a interna (ou impressa) e diminuirmos uma variável:

$\\ \rightleftharpoons \;\; \underset{\mathfrak{Impressa}}{\mathbf{Área }} \mathrm{= (x-4).(y-8)} \\\\\ 50 = ((x-4).(y-8)) \\\ 50 - 32 +8x = xy - 4y \\\\\ y = \frac{18 +8x}{(x - 4)} \\\\\ \underset{\mathfrak{Externa \; ao \;cartaz}}{\mathbf{Área }} \mathrm{= x. \left ( \frac{18 +8x}{x - 4} \right ) } \\\\\ \underset{\mathfrak{Externa \; ao \;cartaz}}{\mathbf{Área }} \mathrm{= \left ( \frac{ 8x^2+18x}{x - 4} \right ) }$

Temos a função que queriamos, para encontrar o pontos mínimo e máximo, precisamos da derivada primeira e suas raizes, então:

$\\ \mathrm{ A'= \left ( \frac{ 8x^2+18x}{x - 4} \right )' \;\;\(Pela \;regra\; do\; Quociente) } \\\\\\ \mathrm{A' = \frac{8x^2 - 64x -72}{(x-4)^2}} \\\\\ \mathrm{\frac{8x^2 - 64x -72}{(x-4)^2} = 0 }\\\\ \mathrm{8x^2 - 64x -72 = 0} \\\ \mathrm{(x^2 - 8x - 9)=0 }\;\; \Longleftrightarrow \;\; \ \boxed {\mathrm{ x = - 1 \;ou\;\; x = 9}}$

Para saber qual desses valores de x admite um mínimo temos a seguinte proposição :

● f' (x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo em c

● f' (x) > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo em c.

Pelo teste da segunda derivada nota-se que:

$\mathrm{y'' = \frac{8x^2 - 64x -72}{(x-4)^2}} \;\;\ \\\\ v =(x-4)^2, \;u= 8x^2 - 64x -72 \\\ v'= 2(x-4),\;\; u' =16x -64 \\\\\ y'' = \frac{(16x-64)((x-4)^2) - (8x^2 - 64x -72)(2(x-4))}{(x-4)^4} = \boxed {\frac{400x - 1600}{(x-4)^4}} \\\\\ \mathrm{Para \; x = -1 }\\\\ \mathrm{f(-1) = \frac{400(-1) - 1600}{((-1)-4)^4} < 0 \;\; (Ponto \; Máximo) }\\\\\ \mathrm{Para \; x = 9 }\\\\ \mathrm{f(9) = \frac{400(9) - 1600}{((9)-4)^4} > 0 \;\; (Ponto \; Mínimo)}$

De acordo com o teste, para x =9, temos o mínimo que interessa, logo a área e sua dimensão será:

$\\ \underset{\mathfrak{Externa \; ao \;cartaz}}{\mathbf{Área }} \mathrm{= \left ( \frac{ 8x^2+18x}{x - 4} \right ) } \\\\\\\ \mathrm{\underset{x=9}{Ámin}} \mathrm{= \left ( \frac{ 8x^2+18x}{x - 4} \right ) }=\mathrm{ 162 \; cm^2} \\\\\ \mathrm{\textbf{Dimensões externas}}: \\\\ y = \frac{8x + 18 }{x-4} = 18. \;\; \Longleftrightarrow \;\; \boxed { \;\mathrm{ x =9 , \; y=18}}$