Determine o valor de x

1)

2)

3)

4)

GABARITO:
1) 16
2) 25/3
3) 4
4) 45/4

Renan Castro escreveu:1)

2)

3)

4)

GABARITO:
1) 16
2) 25/3
3) 4
4) 45/4

Boa tarde, Renan.

1)

Pelo Teorema de Tales, os lados paralelos dos quadrados (que ligam as duas transversais) são proporcionais:
9/6 = 6/x
x = 6*6/9 = 36/9 = 4

Assim, a área do quadrado menor = 4² = 16

2)

(DF)² = (AD)² - (AF)²
(DF)² = (24)² - (20)² = 576 - 400 = 176
DF = √176 = 4√11
CF = 10 - 4√11

(AC)² = (AF)² + (CF)²
(AC)² = (20)² + (10 - 4√11)²
(AC)² = 400 + 100 - 80√11 + 176
(AC)² = 676 - 80√11

Construamos agora um triângulo utilizando os vértices A, B e C; nele temos:
AB = 10
BC = 24
(AC)² = 676 - 80√11

Façamos, nele:
BE = m
EC = 24-m

No triângulo AEB, temos:
AE = x
BE = m
AB = 10

x² + m² = 10² = 100
x² = 100 - m² (*)

E no triângulo AEC:
AE = x
EC = 24-m
(AC)² = 676 - 80√11

x² + (24-m)² = 676 - 80√11
x² + 576 - 48m + m² = 676 - 80√11 → substituímos x² por seu equivalente em (*):
100 - m² + 576 - 48m + m² = 676 - 80√11
-48m = -80√11
48m = 80√11
m = 80√11/48
m = 5√11/3

x² = 100 - m²
x² = 100 - (5√11/3)²
x² = 100 - 275/9 = (9*100 - 275)/9 = 625/9
x = √(625/9)
x = 25/3

3)

Os triângulos ABC e ASR são semelhantes; portanto, seus lados são proporcionais:
5/10 = x/8
x = 5*8/10
x = 40/10
x = 4

4)

Os triângulos retângulos ABC e EDC são semelhantes entre si; portanto, seus lados são proporcionais:
15/x = 20/15
20x = 15*15 = 225
x = 225/20 → que simplificando fica:
x = 45/4






Um abraço.

Muito Obrigado ivomilton!

2)
Triângulos BAE e FAD são semelhantes (caso AAA).
x/10 = 20/24