geometria anlaitica demonstraçao

demonstre que,em um triangulo retangulo,a reta determinada pelo vertice do angulo reto e o centro do quadrado construido sobre a hipotenusa ,externamente ao triangulo ,e a bissetriz do angulo reto.

Dado um triângulo retângulo qualquer OAB, sempre podemos colocá-lo como abaixo.



Assim:

- reta por A e B:

(y-0)/(yA-0) = (x-xB)/(0-xB) -> reta (t): y = ( - yA/xB)*x + (yA*xB)/xB

- reta perpendicular a (t) passando por A:

m = xB/yA

y - yA = ( xB/yA)*( x-0 ) -> reta (r): y = ( xB/yA )*x + yA

- distância de A a B:

d²(A,B) = (0-xB)² + (yA-0 )² -> d²(A,B) = xB² + yA²

- circunferência com centro C( 0, yA ) e raio \/(xB² + yA²)

( x - 0 )² + ( y - yA )² = xB² + yA²

x² + y² - 2*y*yA - xB² = 0

- interseção da circunferência com reta (r):

x² + [(xB/yA)*x + yA ]² - 2*[(xB/yA)*x + yA ]*yA - xB² = 0

x² + [(xB²/yA²)*x² + yA² + 2*(xB/yA)*x*yA ] - 2*[(xB*yA/yA)*x + yA² ] - xB² = 0

x² + [ (xB²/yA²)*x² + yA² + 2*xB*x ] - 2*[ xB*x + yA² ] - xB² = 0

x² + [(xB²/yA²)*x² + yA² + 2*xB*x ] - 2*[ xB*x + yA² ] - xB² = 0

[ x² + (xB²/yA²)*x² ] + yA² + 2*xB*x - 2*xB*x - 2*yA² - xB² = 0

x²*[ 1 + (xB²/yA²) ] + yA2 - 2*yA² - xB² = 0

[ 1 + (xB²/yA² ]*x² = yA² + xB²

x² = [ ( yA² + xB² ) ]/[ (yA² + xB² /yA² ]

x² = yA²

x = ± yA

para x = yA:

y = xB + yA

D[yA , (xB+yA)]

- ponto médio do segmento DB:

xM = ( yA + xB )/2

yM = [ (xB + yA) + 0 ]/2 -> yM = ( xB + yA )/2

M[ (yA+xB)/2, (yA+xB)/2 ]

logo o ponto M pertence à bissetriz do ângulo reto.