Combinatória - (números de cabeça para baixo)

por Paulo Testoni Seg 26 Out 2009, 13:51

Escrevem-se números de 5 algarismo (inclusive começando por Zero)) em cartões. Como 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo e como o 6 de cabeça para baixo vira 9, um só cartão pode representar dois números ( por exemplo 06198 e 86190). Qual o número mínimo de cartões para representar todos os números de 5 algarismo ? R= 98475

por Carlos Eustáquio pinto Dom 08 Jan 2012, 19:46

Uma solução.

Todos os cartões possíveis:

__ __ __ __ __: 10^5 = 100.000.

Os cartões que quando virados de cabeça para baixo continuam representando cartões são formados por algarismos pertencentes ao conjunto {0, 1, 6, 8, 9}. Esses cartões são em número de:

__ __ __ __ __: 5^5 = 3.125.

Há cartões que virados de cabeça para baixo representam o mesmo número, como por exemplo: 00000, 11111, 88888, 69069, 16891, 09060, 86098, 81018 e 10101. Vamos chamá-los de cartões simétricos.

Observe as 5 posições: __ __ __ __ __, temos que nos preocupar com as 3 primeiras (unidade, dezena e centena) ou com as 3 últimas, isso é devido à simetria, pois a unidade de milhar é reflexo da dezena e a dezena de milhar é reflexo da unidade.

Quanto à centena, ou seja, terceira posição, há simetria em relação ao 0, ao 1 e ao 8, o 6 e o 9, quando virados de cabeça para baixo e na posição da centena, alteram o cartão. Esses cartões são em quantidade de:

__ __ __ __ __: 5∙5∙3∙1∙1 = 75.

Retirando essa última quantidade dos 3.125, temos: 3.125 – 75 = 3.050.

3.050 são todos os cartões que virados de cabeça para baixo representam números diferentes do original, então precisamos somente da metade desses cartões: 3.050/2 = 1.525.
Logo, devemos subtrair 1.525 de 10.000: 10.000 – 1.525 = 98.475.

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