Elementos do triângulo

Considere as afirmativas sobre o triângulo ABC:
I - Os vértices B e C são eqüidistantes da mediana AM. M é o ponto médio do segmento BC;
II - A distância do baricentro G ao vértice B é o dobro da distância de G ao ponto N, médio do segmento AC;
III - O incentro 1 é eqüidistante dos lados do triângulo ABC;
IV - O circuncentro S é eqüidistante dos vértices A, B e C.
O número de afirmativas verdadeiras é:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

I - Os vértices B e C são eqüidistantes da mediana AM. M é o ponto médio do segmento BC;
Aqui, minha única dúvida de interpretação: ele afirma a primeira frase e quer confirmação sobre a veracidade da segunda; ou afirma a segunda e pede confirmação da primeira; ou, ainda, indaga sobre a possibilidade das duas frases serem verdadeiras? Vou supor que ele afirma as duas frases.

Se os vértices (puntuais) são equidistantes da mediana AM (de toda a mediana), então essa mediana é também mediatriz do segmento BC. Isso é possível. A mediana será perpendicular a BC e o triângulo será isósceles de base BC. Obviamente, M será o ponto médio da base.
VERDADE

II - A distância do baricentro G ao vértice B é o dobro da distância de G ao ponto N, médio do segmento AC;
VERDADE. Essa é a propriedade do baricentro de qualquer triângulo.

III - O incentro I é eqüidistante dos lados do triângulo ABC;
VERDADE. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, logo ela tangencia seus lados. Os raios são perpendiculares aos lados no ponto de tangência. Portanto, o centro é equidistante.

IV - O circuncentro S é eqüidistante dos vértices A, B e C.
VERDADE. Circuncentro é o centro da circunferência circunscrita (aquela que passa pelos vértices do triângulo). Logo, o raio dessa circunferência liga S a cada um dos vértices.

E -- as quatro afirmativas são verdadeiras.

Olá Medeiros,

Amigo, para não ser repetitivo, agradeço as respostas postadas. Parabéns pela forma esclarecedora. Valeu.

Olá Natal,

Estive pensando e preciso retificar minha resposta ao item I. A questão pede o número de afirmativas verdadeiras e o item I são duas afirmativas em duas frases.

Frase 1. Os vértices B e C são equidistantes da mediana AM.
Mediana é o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. Não há nisso nenhum compromisso de perpendicularidade. A perpendicularidade é possível nos casos particulares em que a mediana se confunde com a altura (esta sim é perpendicular ao lado), ou seja: (a) no triângulo equilátero; e (b) exclusivamente para a mediana referente a base do triângulo isósceles. Só isso. Não é um caso geral. Então, não podemos dizer que isso vale para todos os triângulos.
Como o problema nos dá um triângulo ABC qualquer, ou seja, não define um triângulo específico, não podemos dizer que essa afirmação seja verdade para todos os casos. Então, FALSO.

Frase 2. M é o ponto médio do segmento BC.
Se AM é a mediana, conforme definido na frase anterior, pela própria definição decorre que M é o tal ponto médio. Então, VERDADE.

Resumo. A afirmação do item I não é toda ela verdadeira. Então, FALSO

Como conclusão, essa questão tem somente três itens verdadeiros.

Me desculpe a mancada mas, na verdade, tive dificuldade em entender o que diabos o examinador queria realmente saber de mim.

Olá Medeiros,

Bom dia.

Concordo com a primeira resposta que resulta em todas as afirmativas verdadeiras. Reavalie a questão que verá que qualquer que seja o triângulo os vértices B e C serão eqüidistantes da mediana AM. Valeu.