Cinemática

por Cleyton Qua 11 Jan 2012, 19:53

Vamos ver quem consegue resolver...

Um carro de formula 1 esta fazendo testes numa longa pista retilınea e
estao sendo medidos os intervalos de tempo gastos para que ele percorra
uma distancia d. Suponha que ele inicie seu movimento a partir do repouso
e que, apos percorrer essa distancia, ele retorne ao repouso. Sabe-se
que a sua aceleracao maxima é α, enquanto a sua desaceleração maxima é β (α, β > 0). Imagine o seguinte movimento desse carro: em t = 0s ele
inicia um MRUV com a aceleracao maxima α ate um certo instante, a partir
do qual começa a diminuir a sua velocidade descrevendo um outro MRUV,
com desaceleração β, ate atingir o repouso exatamente apos ter percorrido
a distancia d.
Mostre que o menor tempo possıvel para esse carro percorrer a distancia
d é

[2d(a+B)/ab]^0,5

por **Elcioschin** Qua 11 Jan 2012, 21:19

Seja x o espaço percorrido com aceleração α ----> (d - x) é o espaço percorrido com desaceleração β

x = (1/2)*α*t1² ----> t1 = (2x/α)^1/2

Velocidadea adquirida no final da aceleração ----> V = α*t1 ---> V = α*(2x/α)^1/2 ----> V = (2xα)^1/2

Desaceleração ----> d - x = V*t2 - (1/2)*β*t2² ----> (β/2)*t2² - (2ax)^(1/2)*t2 + (d - x) = 0 ----> Equação do 2º grau:

Discriminante: D = b² - 4ac ----> D = = 2ax - 4*(β/2)(d - x) ----> D = 2ax + 2βx - 2βd

Raízes ----> t2 = [(2ax)^1/2 + - \/(2ax + 2βx - 2βd)]/2*(β/2)----> t2 = [(2ax)^1/2) + - \/(2ax + 2βx - 2βd]/β

t = t1 + t2 ----> t = (2x/α)^1/2 + [(2ax)^1/2) + - \/(2ax + 2βx - 2βd]/β

Basta agora calcular a derivada dt/dx, igualá-la a zero e calcular o valor de xmín

E, finalmente calcular o valor de tmín

por Jessé de Jesus Qua 11 Jan 2012, 21:24

Olá!

Com a aceleração alfa, o móvel atingirá uma velocidade (Vf1) de $\\V_{f1}=0+\alpha t_1=\alpha t_1.$

Já com a desaceleração beta, chegará ao repouso; então:

$0=v_0-\beta t_2=\alpha t_1-\beta t_2\to\alpha t_1=\beta t_2\\\\\frac{t_2}{t_1}=\frac{\alpha}{\beta}\to 1+\frac{t_2}{t_1}=\frac{(\alpha+\beta)}{\beta}\to t_1+t_2=t_1\left(\frac{\alpha+\beta}{\beta} \right )\\\\t=t_1+t_2 \;\;\to t_1=\frac{\beta t}{\alpha+\beta}\\\\\text{t= tempo mínimo}$

Pela equação de Torricelli:

$v_{f1}^2=0+2\alpha d_1\;\;\therefore\;\;v_{f1}^2=2\alpha d_1$

$\\0= v_{f1}^2-2\beta d_2\;\;\to\;\;2\alpha d_1=2\beta d_2\\\\\frac{d_2}{d_1}=\frac{\alpha}{\beta}\;\;\to\;\;d_2+d_1=d_1\frac{\alpha+\beta}{\beta}\\\\\therefore d=d_1\frac{\alpha+\beta}{\beta}\;\;\fbox{1}\\\\\text{Calculemos }d_1:\;\;d_1=\frac{1}{2}\alpha t_1^2=\frac{1}{2}\frac{\beta^2t^2}{(\alpha+\beta)^2}\;\;\fbox{2}\\\\\fbox1\;em\;\fbox2:$

$d=\frac{\alpha}{2}\frac{\beta^2t^2}{(\alpha+\beta)^2}\frac{(\alpha+\beta)}{\beta}\\\\\\\therefore t=\sqrt{\frac{2d(\alpha+\beta)}{\alpha\beta}}$