Equação de Torriceli

por Arnaldo Seg 26 Dez 2011, 23:43

Utilizando cálculo integral demonstre a equação de Torriceli.

por **vanderson** Ter 27 Dez 2011, 13:18

Pela definição de aceleração sabemos que

$Equação de Torriceli Gif.latex?a=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D$ (1)

Usando a regra da cadeia na experessão acima, obteremos

$Equação de Torriceli Gif.latex?a=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D$ (2)

Sabemos que a velocidade é dada por

$Equação de Torriceli Gif.latex?v=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D$ (3)

Substituindo a equação (3) na equação (2), obtemos

$Equação de Torriceli Gif.latex?a=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7Dv$ (4)

A expressão acima pode ser escrita

$Equação de Torriceli Gif.latex?adx=vdv$ (5)

A aceleração no MRUV e constante. Integrando a equação (5) entre os limites x0 e x e v0 e v:

$Equação de Torriceli Gif$ (6)

que equivale a

$Equação de Torriceli Gif$ (6)

que pode ser escrito como

$Equação de Torriceli Gif.latex?a%5Cleft%20%28%20x-x0%20%5Cright%20%29=%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bv0%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%20%28%20v%5E%7B2%7D-v0%5E%7B2%7D%20%5Cright%20%29=v%5E%7B2%7D-v0%5E%7B2%7D=2a%5Cleft%20%28%20x-x0%20%5Cright%20%29%5CRightarrow%20v%5E%7B2%7D=v0%5E%7B2%7D+2a%5Cleft%20%28%20x-x0%20%5Cright%20%29$ (7)

A variação do espaço e dada por

$Equação de Torriceli Gif$

que substituida na equação (5), resulta na equação de torricelli:

$Equação de Torriceli Gif$

Equação de Torriceli

Equação de Torriceli

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