ESCOLA NAVAL 2017 - QUESTÃO 1

Nas proposições abaixo, coloque V (Verdadeiro) ou F (Falso) e assinale a opção que apresenta a sequência correta.
( ) Existe pelo menos um a ∈ R e a ≠ 0, para que as curvas y = ax² e x² + 2y² = 1 não se interceptem ortogonalmente.
( ) A negação da proposição (∃x ∈ A ) (p (x)) → (∀ x ∈ A ) (~q (x)) é (∃x ∈ A)(p(x)) ^ (∃x ∈ A)(q(x)).
( ) Se integral (0 a π/2) (1/1+senx) dx = M, então M² = 2.
( ) Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. Se z = |z|e^iθ, então |e^iz| = e ^ |z|senθ
(A) (F) (V) (F) (F)
(B) (F) (F) (V) (V)
(C) (V) (F) (F) (V)
(D) (V) (V) (V) (F)
(E) (F) (V) (V) (F) 

gabarito:

Penso que seja isso:

Afirmação 1: (F)
\[
\left\{\begin{matrix}
y=ax^2\therefore a=\frac{y}{x^2}
\\ 
x^2+2y^2=1
\end{matrix}\right.\Rightarrow 

\left\{\begin{matrix}
y_1'=2ax
\\ 
2x+4yy_2'=0
\end{matrix}\right.\Rightarrow 



\left\{\begin{matrix}
y_1'=\frac{2y}{x}
\\ 
y_2'=-\frac{x}{2y}
\end{matrix}\right.
\]

Ou seja \(y_1'*y_2'=-1\) ocorre sempre, independente do valor de a (≠0). Ou seja, as curvas serão ortogonais.

Afirmação 2: (V)


Para negar a proposição "se, então", deve-se manter a primeira afirmação e negar a segunda utilizando o conectivo "e". Para negar a segunda proposição troque ∀x por ∃x, ~q(x) por q(x) e use o conectivo lógico "e".

Afirmação 3: (F)


Veja que:

\[ \frac{1}{1+sin x} = \frac{1}{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{1}{(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})^2}=\frac{sec^2\frac{x}{2}}{(1+tg\frac{x}{2})^2} \]

Assim, se \(1+tg\frac{x}{2}=u \Rightarrow  sec^2\frac{x}{2}dx=2du\). Então: 

\[\int  \frac{1}{1+sinx}dx=\int\frac{sec^2\frac{x}{2}}{(1+tg\frac{x}{2})^2}dx=\int \frac{2}{u^2}du=-\frac{2}{u}+C=-\frac{2}{1+tg\frac{x}{2}}+C\]

\[ \therefore M=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1+sinx}dx=-\frac{2}{1+tg\frac{\pi}{4}}+\frac{2}{1+tg\frac{0}{2}}=1 \]


Afirmação 4: (F)

Vamos \(z=\mid z \mid e^{i\theta}=\mid z \mid cis(\theta ) \)

\[e^{iz}=e^{i*\mid z \mid cis(\theta )}\]
\[e^{iz}=e^{i*\mid z \mid (cos(\theta )+isin(\theta ))}\]
\[e^{iz}=e^{-\mid z \mid sin(\theta )+i\mid z \mid cos(\theta )}=e^{-\mid z \mid sin(\theta )}*e^{i\mid z \mid cos(\theta )}\]

Logo, como \(\mid e^{i\mid z \mid cos(\theta )}\mid=1\), então:

\[ \fbox{$\mid e^{iz} \mid= e^{-\mid z \mid sin(\theta )} $}\]

Primeiramente,
Muito abrigado! Deus te abençoe.
Segundamente,
Tenho uma pergunta sobre a terceira afirmativa:
Seria possível resolver ela multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de "1 + sen(x)"?

Olá, colega

Por nada, e amém !

Eu preferi fazer de outro modo para não ter que trabalhar com o limite, mas tbm é possível resolver assim:

\[ \frac{1}{1+sinx}=\frac{1-sinx}{cos^2x}=sec^2x-\frac{sinx}{cos^2x}\]

\[\int\frac{1}{1+sinx}dx=\int sec^2x-\frac{sinx}{cos^2x}\;\;dx\]

\[\therefore \int\frac{1}{1+sinx}dx = tgx-secx +C\]

Fazendo \(A=\underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{lim\;\;x}\), então:

\[\int_{0}^{A}\frac{1}{1+sinx}dx=tgA-secA - (tg0-sec0)\]

Porém:   \(\underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{lim}\;tgx-secx=\underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{sinx-1}{cosx}\overbrace{=}^{L'Hopital}\underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{cosx}{-sinx}=0\)

\[\therefore \fbox{$\int_{0}^{A}\frac{1}{1+sinx}dx=1$}\]