Equação irracional: ∛f(x) = g(x)

Uma possibilidade é substituir variáveis, para facilitar

y = x + 1 ---> z = x - 1 ---> y.z = x² - 1

∛(x + 1) - ∛(x - 1) = ∛(x² - 1) --->

∛(y) - ∛(z) = ∛(y.z)  --> Elevando ao cubo:

y - 3.∛(y²).∛(z) + 3.∛(y).∛(z²) - z = y.z

y - z - 3.∛(y).∛(y.z) + 3.∛(z).∛(y.z) = y.z

1.(y - z) - 3.∛(y.z).(∛y - ∛z) = y.z



Faça agora y = x + 1 , z = x - 1 , y.z = x² - 1

Simplifique, isole o radical no 1º membro e eleve ao cubo para eliminar radical.

Olá, desculpe, mas creio que exista um equívoco na penúltima linha da sua solução. O correto não seria (y - z) - 3.∛(y.z).(∛y - ∛z) = y.z?

Já tentei por esse caminho diversas vezes e desenvolvendo sempre acaba do mesmo jeito:

(y - z) - 3.∛(y.z).(∛y - ∛z) = y.z

y - z = 2
∛y - ∛z = ∛(y.z)
y.z = x² - 1

2 - 3∛(x² - 1)² = x² - 1

Isolando o radical e elevando ao cubo fica

x⁶ + 18x⁴ - 27x² = 0
x²(x⁴ + 18x² - 27) = 0

x = 0

x⁴ + 18x² - 27 = 0

x² = a

a² + 18a - 27 = 0

a = 6√3 - 9 
a = -6√3 -9 (desconsiderada por a = x²)

x = √(6√3 - 9)
x = -√(6√3 - 9)

No entanto, substituindo os 3 valores possíveis para x encontrados verifica-se que nenhum é realmente solução da equação inicial, creio que só posso ter cometido algum engano, já que não surgem raízes estranhas quando se eleva ao cubo. Coloquei a explicação do meu caminho mais detalhadamente na esperança de que alguém perceba que engano foi esse. Como disse antes, o gabarito é x = √5/2 e x = -√5/2. Agradeço por ter me respondido e aceito mais uma vez sua ajuda, caso se disponha a me ajudar.

Sim, eu esqueci de colocar (∛y - ∛z) ---> Já editei


Não prossegui nas contas.

Obrigado por tentar, substituí x pelos valores que estavam no gabarito e fui conferindo com uma calculadora, no fim não deu uma igualdade. Ainda assim me custa acreditar que não existe solução...

Eu sempre desconfio quando o gabarito não confere!